7.8.2. Способ вспомогательных секущих сфер.

Для построения линии пересечения некоторых поверхностей вращения рациональнее применять в качестве вспомогательных секущих поверхностей-посредников – сферы.

Прежде чем перейти к методу сфер, рассмотрим вспомогательную теорему (лемму): “Две соосные (имеющие общую ось) поверхности вращения Ф(i,n),Δ(i,m) пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных полумеридианов (рис. 70).

Рис. 70

Пусть поверхность вращения Фобразуется вращением кривойn(n1,n2) вокруг осиi, а поверхность вращенияΔ– вращением вокруг той же осиi кривойm (m1,m2), причем обе кривые лежат в плоскости главного меридиана. Точки MиNпересечения кривыхmиnпри вращении вокруг оси i опишут окружности, плоскости которых будут параллельны плоскостиП1 и которые будут являться линиями пересечения обеих поверхностей. Эти параллели спроецируются на плос-костьП1без искажения, а на плоскостьП2– в виде отрезков прямых (диаметров окружностей), перпенди-кулярных оси i(i2).

Из этой теоремы вытекает, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы, то она пересекается со сферой по окружностям.

Если вспомогательные сферы описываются из одного центра, то мы будем иметь способ концентрирующих секущих сфер, если сферы описываются из разных центров, то способ построения линии пересечения называется способом эксцентрических сфер.

7.8.2.1. Способ концентрических сфер.

Способ концентрических сфер применяется для построения линии пересечения поверхностей вращения, оси которых пересекаются и параллельны одной из плоскостей проекций.

Построим линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения, имеющих общую плоскость симметрии Γ(Γ₁) (рис. 71).

Рис. 71

Находим центр О(О₁,О₂) вспомогательных сфер на пересечении осей:.

Опишем из центра О(О₂) вспомогательную сферу-посредник. Она изобразится наП₂в виде большого круга и будет соосна с данными поверхностями вращения. На основании теоремы она пересечет обе поверхности вращения по окружностямaиb, которые проецируются на плоскостьП₂в виде хордА₂А₂^’ иВ₂В₂^’, перпендикулярных проекциям осей поверхностей:

a₂ i₂,b₂ j₂.

Точки I₂,II₂пересечения этих хорд и будут являться фронтальными проекциями точек искомой линии пересечения заданных поверхностей, так как окружностиaиbпринадлежат одной сфере. Горизонтальные проекции точекI₁,II₁найдутся на пересечении линий связи, проведенных из точекI₂,II₂, с окружностями параллелей поверхности конуса вращения, диаметр которых равенА₂А₂^’.

Найдем границы проведения сфер. Легко видеть, что радиус максимальной сферы равен расстоянию от центра О₂до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих. Радиус минимальной сферы равен наибольшему из перпендикуляров, опущенных из центраО₂на очерковые образующие. В промежутке междуR_maxиR_minпроводим вспомогательные сферы. Проводя достаточное количество сфер-посредников, получим достаточное количество точек, определяющих линию пересечения данных поверхностей.