4. Задание 3 (эпюр №3). Тема: «Взаимное пересечение кривых поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей и вспомогательных секущих сфер».

Задача №1 Построить линию пересечения поверхностей. Задачу решить с помощью вспомогательных секущих плоскостей.

Задача №2 Построить линию пересечения поверхностей. Задачу решить с помощью вспомогательных сферических поверхностей.

4.1. Указания по выполнению задания.

4.1.1. Указания к оформлению.

Эпюр выполняется на листе формата А3 (297 х 420 мм).

Данные для выполнения эпюра брать из соответствующих таблиц (стр. 166-171) согласно своего варианта.

Размеры наносить не обязательно. При построении линии пересечения нужно сначала найти опорные точки искомой кривой и показать на чертеже их построение, а также одной – двух промежуточных.

Две кривые поверхности пересекаются по некоторой пространственной кривой линии, которая строится по отдельным точкам. Основной метод построения состоит в применении вспомогательных секущих поверхностей – посредников. Поверхности выбираются такими, чтобы они пересекали данные поверхности по наиболее простым линиям (прямым или окружностями). Точки пересечения этих линий и будут принадлежать искомой линии пересечения поверхностей.

4.2. Способ секущих плоскостей.

Способ вспомогательных секущих плоскостей применяется для построения:

• линии пересечения поверхности многогранника и кривой поверхности;

• линии пересечения двух поверхностей вращения с параллельными или скрещивающимися спинами;

• линии пересечения двух конических или цилиндрических, или конической и цилиндрической поверхностей общего вида.

Пример №1. Построить линию пересечения цилиндра вращения и конуса вращения (рис. 243).

Необходимо подобрать секущие плоскости так, чтобы в пересечении с геометрическими телами получались простейшие фигуры (прямые, окружности и т.д.). В данном случае (см. рис. 243) использованы горизонтальные плоскости уровня Γ₂ (Γ). Они будут пересекать конус по окружностям, а цилиндр по прямолинейным образующим.

На пересечении этих линий и будут находиться искомые точки, принадлежащие линии пересечения. Проводим их от точки 3₂ до точки 8₂. Так как цилиндр является фронтально-проецирующим, то эту задачу можно рассматривать как задачу на инцидентность. А именно, находим горизонтальные проекции 1₁,2₁, 3₁, и т.д., принадлежащих поверхности конуса вращения, если известны их фронтальные проекции 1₂, 2₂, 3₂ и т.д.

Г₂

Рис. 243

4.3. Следствие из вспомогательной теоремы.

Если из точки, лежащей на оси поверхности вращения, построить сферу, то она пересекается с ней по окружностям.

Если вспомогательные сферы описываются из одного центра, то мы будем иметь способ концентрических секущих сфер, если сферы описываются из разных центров, то метод построения линии пересечения называется способом эксцентрических сфер.

Способ концентрических секущих сфер применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых между собой пересекаются и параллельны одной из плоскостей проекций.

Второй способ построения линии пересечения двух поверхностей состоит в применении вспомогательных сфер, имеющих различные центры. Он применяется для построения линии пересечения циклической поверхности с поверхностью вращения. При этом ось поверхности должна лежать в плоскости симметрии циклической поверхности. В свою очередь, плоскость симметрии циклической поверхности должна быть параллельна одной из плоскостей проекции.

Циклической поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо окружностью (образующей) постоянного или переменного радиуса по определенному закону. Такая поверхность содержит семейство круговых образующих (тор, кольцо, наклонный цилиндр, конус с круговым основанием и т.д.).