13.5. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Рассмотрим как, создаваемое бесконечной плоскостью, заряженной с постоянной поверхностной плотностью 

. (13.11)

Рис. 13.4. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность в любой точке поля имеет направление перпендикулярное к плоскости.

Представим себе мысленно цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями величины S, расположенными относительно плоскости симметрично. Применим к этой поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку Е_п в каждой ее точке равна нулю.

Для оснований Е_п совпадает с Е. Следовательно, суммарный поток через поверхность будет равен 2ЕS. Внутри поверхности заключен заряд S. Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие

2ЕS = ,

откуда Е = . (13.12)

13.6. Поле двух разноименно заряженных плоскостей

Поле двух параллельных бесконечных плоскостей, заряженных разноименно с одинаковой по величине постоянной поверхностной плоскостью, можно найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.

Легко видеть, что в области между плоскостями складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна

Е = .

Вне объема, ограниченного

Рис. 13.5. плоскостями, складываемые поля имеют противоположные направления, так что результирующая напряженность равна нулю.

Таким образом, поле оказывается сосредоточенным между плоскостями. Напряженность поля во всех точках этой области одинакова по величине и по направлению. Поле, обладающее свойствами, называется однородным.

Линии напряженности однородного поля представляют собой совокупность параллельных равноотстоящих прямых.

13.7. Поле бесконечно заряженного цилиндра

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью . Из соображений симметрии следует, что напряженность поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярна к оси цилиндра, а величина напряженности может зависеть лишь от расстояние r от оси цилиндра.

Рис. 13.6.

Представим себе мысленно коаксиальную с заряженной поверхностью замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса r и высотой h. Для оснований этого цилиндра Е_п = 0, для боковой поверхности Е_п = Е(r). Следовательно, поток линий через эту замкнутую поверхность будет равенЕ(r)2rh. Если r  R, внутри поверхности попадает заряд , где - линейная плотность заряда. Применяя теорему Гаусса, получаем

Е(r)2rh = ,

откуда Е(r)= . (13.13)

Если r  R, рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего Е(r) = 0. Таким образом, внутри заряженной цилиндрической поверхности бесконечной длины поле отсутствует.

13.8. Работа сил электростатического поля

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в поле другого неподвижного точечного заряда, является центральной. Центральное поле сил – потенциально. Убедимся в этом. Для этого вычислим работу, которая совершается силами поля неподвижного точечного зарядаq над перемещающимся в этом поле точечным зарядом q. Работа на элементарном пути dl равна

.

Отсюда для работы на пути 1-2 получается выражение

Рис. 13.7. .

Полученный результат свидетельствует, что работа зависит лишь от начального и конечного положений заряда (r₁ и r₂). Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным.

Работа, совершаемая силами поля над зарядом q при обходе его по замкнутому контуру, может быть представлена как

,

где Е_е – проекция вектора на направление элементарного перемещения. Приравняв выражающий работу интеграл нулю и сократив на постоянную величинуq, придем к следующему соотношению:

,

которое должно выполняться для любого замкнутого контура.

Выражение вида называетсяциркуляцией вектора по данному контуру.