21.2.Затухающие колебания в электрическом колебательном контуре

При наличии в колебательном контуре активного сопротивления R дифференциальное уравнение затухающих колебаний заряда в колебательном контуре описывается уравнением (21.3)

Введем коэффициент затухания

. (21.9)

Уравнение (21.3) можно переписать в виде

. (21.10)

Решением данного уравнения является выражение

, (21.11)

частота ω затухающих колебаний в колебательном контуре, как видно, зависит от параметров контура и описывается уравнением:

. (21.12)

Логарифмический декремент затухания определяется формулой (20.11), а добротность электрического контура также определяется его параметрами

. (21.13)

При увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебаний растет и при превращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина стремится к нолю. Такой процесс называется апериодическим. В технике это называется демпфированием.

Стрелки измерительных приборов (вольтметров, амперметров, индикаторов уровня) обычно соединяются с демпферами, которые обеспечивают плавное затухание критических отклонений. Если бы демпфирование было слишком слабым, то стрелка долго колебалась бы, прежде чем установиться на определенном значении. Если бы оно было очень велико, то стрелка медленно бы ползла к правильному значению и не успевала отслеживать быстрые изменения уровня записи.

21.3.Вынужденные электромагнитные колебания

В электромагнитных вынужденных колебаниях роль вынуждающей силы играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение:

. (21.14)

Тогда уравнение вынужденных электромагнитных колебаний с учетом уравнения (21.4) будет иметь вид:

. (21.15)

Используя преобразования в (21.10) придем к уравнению

. (21.16)

Решение уравнения (21.16) проводится аналогично как и, для механических вынужденных колебаний. Максимальное значение заряда для частного решения уравнения (21.16), с учетом формул (21.9) и (21.12), можно представить в виде:

, (21.16)

. (21.17)

Эти соотношения аналогичны выражениям (20.20) и (20.21).

21.4.Переменный электрический ток

Переменный электрический ток представляет собой установившиеся вынужденные колебания заряда на участках электрической цепи, содержащих катушку индуктивности, резистор или конденсатор. Переменный ток можно считать квазистационарным т.е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняется закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к переменным токам.

Рассмотрим последовательно процессы, происходящие в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор при приложениях к ним переменного напряжения

. (21.18)

Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R( L→0, C →0).

Схема представлена на рис. 21.2(а).

а	б
Рис.20.2.

При выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется по закону Ома

, (21.19)

где - амплитудное значение силы тока.

Для наглядности Изображения соотношений между переменными токами напряжениями воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис.21.2(б) дана векторная диаграмма амплитудных значений тока I_m и напряжения U_m (сдвиг фаз между U_m и I_m равен нулю).

Переменный ток, текущий через катушку индуктивности L( R→0; C→0).

Схема представлена на рис. 21.3(а).

а	б
Рис.21.3

Если к цепи приложено переменное напряжение, (21.18) то в ней потечет переменный ток, в результате чего возникает э.д.с. самоиндукции

. (21.20)

Тогда закон Ома для рассматриваемого участка цепи имеет вид:

. (21.21)

откуда .

Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то

- есть падение напряжения на катушке из уравнения (21.21) следует, что

, (21.22)

или после интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна нулю, получим:

, (21.23)

где , величина– называетсяреактивное индуктивное сопротивление.

Из выражения (21.23) вытекает, что для постоянного тока (ω=0) катушка индуктивности не имеет сопротивления. Подставляя значения в выражение (21.21) с учетомU_L, приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности:

. (21.24)

Сравнение выражений (21.23) (21.24) приводит к выводу, что падение напряжения U_L опережает по фазе ток I текущий через катушку на , что и показано на векторной диаграмме рис.21.3б.

Переменный ток текущий через конденсатор емкостью С (L→0, R →0 )

Схема представлена на рис. 21.4(а).

a	б
Рис.21.4

Если переменное напряжение (21.18) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается и в цепи потечет переменный ток. Так как все внешне напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь, то напряжение на пластинах конденсатора

. (21.25)

Сила тока в цепи равна:

, (21.26)

где ; величина- называетсяреактивным емкостным сопротивлением. Для постоянного тока (ω=0) , т.е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжение на конденсаторе

. (21.27)

Сравнение выражений (21.26) и (21.27) приводит к выводу, что падение напряжения U_C отстает по фазе от текущего через конденсатор тока, на . Это показано на векторной диаграмме рис.21.4(б).

Цепь переменного тока содержащая, последовательно включенные резистор катушку индуктивности и конденсатор.

На рис. 21.5(а) представлена цепь, содержащая резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор емкостью C на концы которого подается переменное напряжение (21.18).

а	б
Рис.21.5.

В цепи, возникает переменный ток, который вызывает на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения U_R, U_L, и U_C. Векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (U_R), катушке (U_L) и конденсаторе (U_C) показана на рис. 21.5(б).

Амплитуда U_m приложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рисунка 21.5(б) угол φ определяет разность фаз между напряжением и силой тока

. (21.28)

Из прямоугольного треугольника получаем, откуда амплитуда силы тока

. (21.29)

Выражение (21.29) описывает закон Ома для цепи переменного тока, которая содержит последовательно соединенные активное и реактивные сопротивления.

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону

,

то в цепи течет ток

, (21.30)

где φ и I_m определяются соответственно формулами (21.28) и (21.29).

Величина - называется полным сопротивлением цепи.