20.2. Вынужденные колебания

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы с циклической частотой ω

. (20.13)

В данном случае с учетом силы (20.13) уравнение движения (20.2) будет иметь вид:

. (20.14)

После деления на m и преобразования (20.3) получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

, (20.15)

где ω – частоты вынуждающей силы.

Решение такого неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение записывается в виде:

, (20.16)

где .

Частное решение имеет вид:

, (20.17)

где А- амплитуда вынужденных колебаний.

Для определения амплитуды вынужденных колебаний А и сдвига фазы φ в уравнение (20.15) подставим значения первой и второй производной уравнения (20.17). Для начала продифференцируем:

(20.18)

Подставляя (20.18) в (20.16) и после некоторых математических преобразований, и применяя метод векторных диаграмм, получим значение амплитуды вынужденного колебания А и сдвига фазы φ:

, (20.19)

. (20.20)

Из уравнения (20.19) видно, что амплитуда вынужденных колебания зависит от амплитуды вынуждающей силы. Подставим значения А и φ из уравнений (20.19) и (20.20) в уравнение (20.17) и запишем частное решение неоднородного уравнения для вынужденных электромагнитных колебаний:

. (20.21)

График вынужденных колебаний представлен на рис.20.2. Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (20.15) состоит из двух слагаемых. Слагаемое общего решения (20.16) играет заметную роль только в начальной стадии процесса при установлении колебаний. В дальнейшем этим слагаемым можно пренебречь т.к. оно содержит член е^-t . Т.о. вынужденные колебания описываются функцией гармонических колебаний (20.21) с частотой равной частоте ω вынуждающей силы F. Для данной колебательной системы с известной частотой и коэффициентом затухания амплитуда вынужденных колебаний (20.19) зависит от амплитуды и частоты вынуждающей силы.

Рис.20.2.

Одним из видов вынужденных колебаний являются вибрации, которые сопровождают нас повсюду и в большинстве случаев эти вибрации являются нежелательными. В первую очередь можно назвать вибрации и колебания авто и железнодорожного транспорта, моторов и станков, нефтяных и газовых платформ, зданий и сооружений в зоне повышенной сейсмической опасности. Во всех случаях стоит задача изоляции от источника вибраций. Несмотря на все конструкционные различия суть системы вибраций одинакова. Пассивная система состоит из пружины и демпфера. Пружина призвана смягчить вибрации и толчки, а демпфер погасить возникшие в системе колебания. Активная система использует также дополнительную пару, состоящую из акселерометра и электромагнитного привода, что позволяет достигнуть исключительную высокую степень виброизоляции.

20.3.Резонанс вынужденных колебаний

Амплитуда вынужденных колебаний А зависит от частоты ω вынужденных колебаний. При совпадении собственной частоты колебаний с вынужденной частотой амплитуда достигает своего максимального значения. В результате наступает резонанс – явление резкого возрастания значения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте.

Для определения резонансной частоты продифференцируем выражение (20.21) по и приравняв к нулю получим условие определения

(20.22)

уравнение (20.22) имеет физический смысл лишь при значении резонансной частоты:

. (20.23)

Подставляя (20.23) в (20.19) получим выражение для амплитуды резонанса

. (20.24)

На рис. 20.3 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях δ.

Рис.20.3. Резонансные кривые.

При частоте -А_рез  к бесконечности.

Кривые соответствующие различным параметрам  называются резонансными. Из формулы (20.24) вытекает, что при малых затуханиях (² << ²) резонансная амплитуда равна:

. (20.25)

Добротность Qхарактеризует резонансные свойства колебательной системы, чем больше добротность, тем больше резонансная частота.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений и зданий необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий. В противном случае возникают вибрации, которые могут вызывать серьезные разрушения. Великий тенор Энрико Карузо мог заставить бокал разлететься вдребезги, спев в полный голос ноту надлежащей высоты.

Железнодорожный мост разрушился из-за того, что выбоина в колесе проходящего поезда возбудила резонансные явления в конструкции моста. Причиной знаменитой катастрофы Тамского моста в 1940г (США) были резонансные явления, возникшие при большом ветре.

В университете штата Нью-Йорк, предложен новый амортизатор, предназначенный для использования, прежде всего, в строительстве зданий и мостов. Он способен поглощать и превращать в тепло да 98% энергии удара. Подобные устройства могли бы помочь ученым и инженерам в разработке новых способов использования всевозможных природных ударов. Долгое время для поглощения энергии ударов использовались зернистые веществ, в том числе песок и почва. Предлагается вместо однородных по размерам частиц, использовать цепочку неоднородных по убыванию размеров упругих частиц. В результате мощного начального удара, самая мелкая частица получает лишь растянутых по времени ряд слабых толчков. Амплитуда их не превышает 10% от амплитуды начального импульса. Эта простейшая система показывает, что теоретически любой удар можно амортизировать с соответствующей комбинацией равномерно сужающихся цепочек, и использовать в мирных целях энергию нежелательных механических вибраций и даже землетрясений.

Для некоторых систем вопрос о наличии или отсутствии трения играет весьма существенную роль. Иногда инженерам приходится бороться с трением в конструкциях. Например, в некоторых приборах применяются упругие шарниры, в которых желательно добиться, возможно, меньшего рассеяния энергии Рассеяние энергии имеет место в любой колебательной системе. Конструкции зданий должны обладать значительным демпфированием; это обстоятельство чрезвычайно важно с точки зрения поведения здания при землетрясении.