Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сумский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Техническая электродинамика Черенков (Кривець)

.pdf

Скачиваний:

129

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

111

Приложение А

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Настоящее приложение посвящено выводу уравнений Максвелла в дифференциальной форме. Прежде чем выводить эти уравнения отметим следующее.

Исторически сложилось так, что вначале были получены уравнения Максвелла в интегральной форме. Затем из этих уравнений были получены (выведены) уравнения в дифференциальной форме, что и будет проведено в настоящем приложении.

А.1. Вывод закона полного тока в дифференциальной форме

Запишем первое уравнение Максвелла в интегральной форме.
	r r	d	r r
∫	H dl = I +	d	∫D dS .	(А.1)
∫	H dl = I +		∫D dS .	(А.1)
L		dt S
		dt S

Внесем в уравнении (А.1) производную по времени, т.е. величину ddt ,

под знак интеграла. Это допустимо, так как интегрирование проводится по пространственным координатам. Тогда уравнение (А.1) с учетом формулы (1.2) примет следующий вид:

	r r	r r	∂D	r
∫	H dl = ∫ j dS + ∫		∂D	dS .	(А.2)
∫	H dl = ∫ j dS + ∫			dS .	(А.2)
L			∂t
	S	S	∂t

Напомним формулировку закона полного тока в интегральной форме: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру L равна полному току, протекающему через любую поверхность, опирающуюся на этот контур. Отсюда следует, что контур L и поверхность S в уравнении (А.2) жестко связаны между собой.

Воспользуемся теоремой (формулой) Стокса (см. приложение Е)

∫	r	r r
∫	F dl = ∫rotF dS		,
L
		S
которая утверждает, что циркуляция		произвольного вектора F по любому

замкнутому контуру L равна потоку вихря этого вектора через любую поверхность, опирающуюся на этот контур.

Подставим формулу Стокса в соотношение (А.2), тогда можно записать, что

r	r	r	r	∂D	r
∫rotH dS − ∫ j dS − ∫					dS = 0.
				∂t
S	S		S

Последнее равенство можно записать в следующем виде:

112	ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

	r r	r
rotH − j −		∂D
rotH − j −
∫		∂t
S		∂t

r	(А.3)
dS = 0 .

Из формулировки первого уравнения Максвелла в интегральной форме следует, что равенство (А.3) должно выполняться для произвольной поверхности S. Отсюда следует, что для выполнения равенства (А.3) необходимо, чтобы выражение под интегралом в (А.3) было равно нулю в любой точке пространства, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство:

r	r	∂D
rotH − j −		∂D		=		0
rotH − j −				=		0
или		∂t
или
r	r		∂D
rotH = j +			∂D		.	(А.4)
rotH = j +					.	(А.4)

∂t

Равенство (А.4) является математической формулировкой закона полного тока в дифференциальной форме.

А.2. Вывод закона электромагнитной индукции в дифференциальной форме

Запишем второе уравнение Максвелла в интегральной форме:

	r r		r r
∫	E dl = −	d	∫ B dS	.	(А.5)

L		dt S

Сравним между собой уравнения (А.1) и (А.5). Из сравнения следует, что
если в уравнении (А.1) произвести замены			j → 0 ,	H → E , а D → −B , то оно

перейдет в уравнение (А.5). Проводя указанные замены и совершая преобразования, аналогичные тем, которые проводились при выводе уравнения

(А.4), получим следующее равенство:
r	∂B .	(А.6)
rotE = −	∂B .	(А.6)

∂t

Равенство (А.6) является математической формулировкой закона электромагнитной индукции в дифференциальной форме.

А.3. Вывод теоремы Гаусса в дифференциальной форме

Запишем третье уравнение Максвелла в интегральной форме.
r
∫S D dS = Q .	(А.7)

Напомним, что величина Q , входящая в уравнение (А.7), определяется формулой (1.1). Используя эту формулу, получаем следующее выражение:

∫ D dS = ∫ρdv

(А.8)

– объемная плотность электрического заряда.

ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

113

Напомним формулировку теоремы Гаусса в интегральной форме: поток

вектора D через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, заключенных в объеме V, ограниченном этой поверхностью. Отсюда следует, что поверхность S и объем V в уравнении (А.8) жестко связаны между собой.

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса (см. приложение Е)

∫S F dS = ∫divF dV ,

которая утверждает, что поток произвольного вектора F по любой замкнутой поверхности S равен интегралу от дивергенции этого вектора по объему, ограниченному этой поверхностью.

Подставим последнюю формулу в соотношение (А.8), тогда можно записать, что

∫divDdv = ∫ρdV .

v	V
Последнее равенство можно переписать в следующем виде:
∫(divD − ρ)dV = 0 .		(А.9)

Из формулировки третьего уравнения Максвелла в интегральной форме следует, что равенство (А.9) должно выполняться для произвольного объема. Отсюда следует, что для выполнения равенства (А.9) необходимо, чтобы выражение под интегралом в (А.9) было равно нулю в любой точке пространства, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство:

divD − ρ = 0

или

divD = ρ

(А.10)

Равенство (А.10) является математической формулировкой теоремы Гаусса в дифференциальной форме.

А.4. Вывод закона соленоидальности магнитного поля в дифференциальной форме

Запишем четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме:

r
∫S B dS = 0 .	(А.11)

Сравним между собой уравнения (А.7) и (А.11). Из сравнения следует, что если в уравнении (А.7) провести замены ρ → 0 , а D → B , то оно перейдет в уравнение (А.11). Проводя указанные замены и совершая преобразования, аналогичные тем, которые проводились при выводе уравнения (А.7), получим следующее равенство:

divB = 0 .

(А.12)

Равенство (А.13) является математической формулировкой закона соленоидальности магнитного поля в дифференциальной форме.

114	ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Приложение В

ВЫВОД ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Как отмечалось в подразд. 1.5, уравнения Максвелла в дифференциальной форме не пригодны на границе раздела двух сред. Это связано с тем, что при переходе через границу раздела двух сред векторы электромагнитного поля испытывают скачкообразные изменения. Соотношения между векторами в двух очень близких точках, находящихся по обе стороны границы раздела двух сред, называются граничными условиями. Граничные условия являются следствием уравнений Максвелла в интегральной форме и определяются равенствами следующего вида:

	r	, (H1 − H 2 )]= jS ,			− H 2 τ = jSN ,		(В.1)
	[n0	, (H1 − H 2 )]= jS ,		H1τ	− H 2 τ = jSN ,		(В.1)
		r	0 ,		− E2 τ	= 0 ,	(В.2)
	[n0 , (E1 − E2 )]=		0 ,	E1τ	− E2 τ	= 0 ,	(В.2)
	r	(D1 − D2 ) = ρS ,			− D2 n	= ρS ,	(В.3)
	n0	(D1 − D2 ) = ρS ,		D1n	− D2 n	= ρS ,	(В.3)
	r	(B1 − B2 ) = 0 ,		B1n − B2 n		= 0 ,	(В.4)
	n0	(B1 − B2 ) = 0 ,		B1n − B2 n		= 0 ,	(В.4)
гдеn0	– нормаль к границе раздела S, направленная из второй среды в первую,
r	– векторы, лежащие в плоскости Р, которая является касательной к
N0 , τ0
		r	r	] (см. рис. В.1)
границе раздела. При этом N0 = [n0 , τ0				] (см. рис. В.1)
				r
				n0
	εa1 ,µa1 ,σa1	τ0			Р		S
							S

εa 2	,µa 2	, σa 2	N0
			N0

Рисунок В.1 – К пояснению граничных условий

Равенства (В.1) и (В.2) определяют граничные условия для касательных составляющих вектора напряженности магнитного и электрического поля, а равенства (В.3) и (В.4) – для нормальных составляющих векторов электрической и магнитной индукции. Первая формула в этих равенствах дает векторную форму граничного условия, а вторая – скалярную форму.

Настоящее приложение посвящено выводу граничных условий.

ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

115

В.1. Вывод граничных условий для касательных составляющих векторов напряженности магнитного поля

Рассмотрим произвольную точку границы раздела (S) двух изотропных сред. Проведем в этой точке из второй среды в первую единичную нормаль n0

(см. рис. В.2). Рассмотрим плоскость P , проходящую через нормаль n0 . На

линии пересечения границы раздела и плоскости P выделим достаточно малый отрезок l так, чтобы выбранная точка находилась внутри этого отрезка. Размеры этого отрезка должны быть такими, чтобы его можно было считать

прямолинейным, и чтобы в обеих средах вектор H можно было считать постоянным в пределах l . В плоскости P на отрезке l построим прямоугольный контур ABCD высоты h так, чтобы одна его часть находилась в первой, а вторая – во второй среде. Проведем в выбранной точке

орты τ0 и N0 .

Орт

τ0 направлен по касательной к отрезку l , а

орт N0

направлен по нормали к плоскости P и так, чтобы выполнялось соотношение

(В.5)

N0 = [n0 ,

τ0 ].

Рассмотрим первое

уравнение

Максвелла в интегральной форме

∫

H dl = I +

∫ D dS .

dt S

Подставим

это

уравнение

формулу (1.2) для тока I ,

тогда оно

принимает следующий вид:

r r

. (В.6)

∫ H dl = ∫ j dS +

∫ D dS

dt S

Отметим, что в уравнении (В.6)

контур L является произвольным, а

поверхность S должна быть такой,

Рисунок В.2 – К выводу граничных

чтобы ее края совпадали с контуром

условий для касательных

L . Принято говорить, что поверхность

составляющих векторов

S опирается на контур L .

электромагнитного поля

Внесем в (В.6) производную по

времени под знак интеграла и запишем уравнение (В.6) для контура

ABCD ,

тогда получим, что

∫ H dl = ∫

j dS + ∫

∂D

dS ,

(В.7)

ABCD

S ∂t

где S – площадь, охватываемая контуром ABCD , а dS = N0 dS .

Представим левую часть равенства (В.7) в виде суммы четырех интегралов

116	ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

r	r B	r r C	r	r D r	r A	r r
∫ H dl = ∫		H dl + ∫ H dl + ∫ H dl + ∫				H dl .	(В.8)
ABCD	A	B		C	D

Устремим в (В.8) высоту h контура ABCD к нулю так, чтобы стороны AB и CD оставались в разных средах и в пределе совпали с отрезком l , тогда второе и четвертое слагаемые в (В.8) стремятся к нулю (к нулю стремятся пределы интегрирования, а подынтегральные функции конечны). В этом случае соотношение (В.8) принимает следующий вид:

	r	r	B	r	r	D	r	r
∫ H dl = ∫				H1 dl1 + ∫			H 2 dl2 ,			(В.9)
ABCD			A			C
где H1 и H 2 – векторы напряженности магнитного поля на отрезке										l со
стороны первой и второй среды.
Учитывая, что dl1	r				r		и тот факт, что вектор H			можно
Учитывая, что dl1	= τ0 dl ,		dl2 = −τ0 dl				и тот факт, что вектор H			можно
считать постоянным в пределах отрезка						l , получаем следующее равенство:
	∫	r	r	r	r	B	r	r	D	(В.10)
	∫	H dl = H1 τ0				∫ dl − H		2 τ0	∫ dl .	(В.10)
	ABCD					A			C
						B	D
Учтем в последнем равенстве, что ∫ dl							= ∫ dl =		l , тогда
		r				A	C	r
		r				r	r	r
		∫ H dl =			l(H1 − H 2 , τ0 ).					(В.11)
		ABCD
Вычислим теперь	правую			часть			соотношения (В.7) при			h → 0 .
Очевидно, что при этом		S → 0 .		Учтем, что величина ∂D ∂t является всегда

ограниченной величиной. Рассмотрим случай, когда граница раздела не является поверхностью идеального проводника. В этом случае объемная

плотность тока проводимости			j	также является ограниченной величиной и
			r	r		r
		lim ∫	j dS + lim ∫		∂D	dS = 0 .			(В.12)
		lim ∫	j dS + lim ∫			dS = 0 .			(В.12)
		l →0		l →0
		S		S ∂t
		Подставим равенства (В.11) и (В.12) в соотношение (В.7), тогда
получаем, что					r
					r
				(H1 − H 2 , τ0 )= 0 .
						r
	r	Учитывая свойство скалярного произведения (A, B)=					B	AB	и тот факт, что
		Учитывая свойство скалярного произведения (A, B)=					B	AB	и тот факт, что
		= 1, получаем следующее соотношение
	τ0	= 1, получаем следующее соотношение
				H1τ − H 2 τ = 0 .					(В.13)
		Сравнивая соотношения (В.13) и второе соотношение (В.1), видим, что

для рассматриваемого случая, когда объемная плотность тока проводимости

ограничена, а значит когда

= 0 , они совпадают.

Пусть теперь

jS ≠ 0 . Это соответствует случаю, когда граница раздела

является поверхностью идеального проводника. В этом случае

∂D

lim

∫

j dS + lim

dS = lim

N 0 dS =

∫

N 0 dl =

l(jS

, N 0 ).

l →0

l →0 ∫

∂t

l →0 ∫

ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА									117
Подставим последнее равенство и равенство (В.11) в соотношение (В.7), тогда
получаем, что			l(H1 − H	r
									(В.14)
				2 , τ0 )= l(jS , N0 ).
Сократим равенство			(В.14)	на	l . Учитывая			свойство	скалярного
r			и тот	факт,	что	r	= 1,	получаем	следующее
произведения (A, B)=	B	AB				τ0

соотношение

H1τ − H 2 τ = jSN .

Последнее соотношение совпадает со вторым соотношением в формуле (В.1). Отметим, что оно является общим видом граничного условия для касательных составляющих вектора напряженности магнитного поля. В случае, когда jSN = 0 , оно совпадает с условием (В.13).

Получим теперь векторную форму граничного условия. Для этого учтем

r	r
очевидное равенство τ0	= [N0 , n0 ]. Подставляя это равенство в (В.14), получаем,
что	r
	r
	(H1 − H 2 ,[N0 , n0 ])= (jS , N0 ).
Учитывая свойства смешанного произведения трех векторов, можно
записать, что	r
	r
	([n0 , H1 − H 2 ], N0 )= (jS , N0 ).
Поскольку последнее равенство справедливо при любом направлении
орта N0 , которое определяется ориентацией контура ABCD , то из него следует,
что	r
	r	(В.15)
	[n0 , H1 − H 2 ]= jS .	(В.15)

Последнее равенство совпадает с первым соотношением формулы (В.1). Это равенство является векторной формой записи граничного условия для касательных составляющих векторов напряженности магнитного поля.

В.2. Вывод граничных условий для касательных составляющих векторов напряженности электрического поля

Рассмотрим второе уравнение Максвелла в интегральной форме

	r r		r r
∫	E dl = −	d	∫ B dS ,	(В.16)

L		dt S

Из сравнения уравнений (В.6) и (В.16) видно следующее. Если в
уравнении (В.6) вектор H поменять на вектор E , вектор D на вектор − B , а
вектор j приравнять нулю,	то оно переходит в уравнение (В.16).			Отсюда

следует, что вывод граничных условий для касательных составляющих векторов напряженности электрического поля (формулы (В.2)) проводится по той же методике, что и вывод, проведенный в предыдущем пункте (с учетом указанных изменений).

118	ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

В.3. Вывод граничных условий для нормальных составляющих векторов электрической индукции

		Рассмотрим произвольную точ-
		ку границы раздела (S) двух изотроп-
		ных сред. Проведем в этой точке из
		второй среды в первую единичную
		нормаль n0 (см. рис. В.3). Выберем в
		окрестности этой точки		достаточно
		малую поверхность S так, чтобы ее
		можно было считать плоской, и
		чтобы в	обеих средах	вектор D
Рисунок В.3 – К выводу граничных		можно было считать постоянным в
условий для нормальных		пределах	S . Построим на элементе
составляющих векторов		S прямой цилиндр высотой h так,
электромагнитного поля		чтобы его основания находились в
		разных средах.
		разных средах.
Рассмотрим третье уравнение Максвелла в интегральной форме
r				(В.17)
∫S D dS = Q .				(В.17)
Подставим в это уравнение соотношение (1.1), связывающее заряд Q и
его объемную плотность ρ , тогда	r
r	r			(В.18)
∫ D dS = ∫ρdV .				(В.18)
S
		V
Отметим, что в уравнении		(В.18) замкнутая поверхность S ,
ограничивающая объем V , является произвольной.
Запишем уравнение (В.18) для поверхности цилиндра, указанного выше,
тогда получим, что	r
r	r			(В.19)
∫ D dS = ∫ρdV .				(В.19)
Sц		Vц
		Vц

Представим интеграл в левой части равенства (В.19) в виде суммы интегралов по основаниям цилиндра и его боковой поверхности. Учитывая, что основания цилиндра находятся в разных средах, получаем следующее соотношение:

	r r	∫	r	r	∫	r	r	∫	r r
	∫Sц		D1	dS1 +		D2	dS2 +		D dS ,	(В.20)
	D dS =
		S1			S 2			Sбок
где dS1	и dS2 векторы, направленные вдоль внешних нормалей к соответствую-
щим основаниям цилиндра.
Устремим в (В.20) высоту				h цилиндра к нулю так, чтобы основания
S1 и	S2 оставались в разных средах и в пределе совпали с элементом S .

ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

119

Тогда, учитывая, что третье слагаемое в (В.20) стремятся к нулю (к нулю стремится площадь боковой поверхности Sбок при ограниченной

подынтегральной функции), получаем следующее равенство:

r	r		r	r	r		r
limh→0 ∫Sц D dS = ∫			D1 dS1 + ∫ D2 dS2 ,						(В.21)
		S			S
где D1 и D2 – векторы электрической индукции на элементе									S со стороны
первой и второй среды.
r			r					что векторы D1 и D2
Учитывая, что dS1 = n0 dS ,	dS2	= −n0 dS и тот факт,						что векторы D1 и D2
можно считать постоянными в пределах элемента							S ,	получаем следующее
равенство:	r
r	r	r	r		r	r
limh→0 ∫Sц D dS = D1 n0 ∫ dS − D2 n9							∫ dS .		(В.22)
			S				S
Учтем в последнем равенстве то, что ∫ dS					=	S , тогда
	r		r	S	r
	r		r	r	r
limh→0 ∫Sц	D dS = n0			(D1 − D2 )			S .		(В.23)
Вычислим теперь правую часть соотношения (В.19) при									h → 0 . При

этом объем цилиндра стремиться к нулю (Vцил → 0 ). Рассмотрим случай, когда

граница раздела является поверхностью идеального проводника. В этом случае на поверхности проводника распределен поверхностный заряда, т.е. ρS ≠ 0 .

		lim ∫ρdv =	∫ρS dS = SρS .
		h→0	S
		V	S
		ц
		Подставим последнее равенство и равенство (В.23) в соотношение (В.9),
тогда получим, что
		r
		n0 (D1 − D2 ) S = SρS .
		Сократим последнее равенство на S , тогда получим					следующее
соотношение
		r					(В.24)
		n0 (D1 − D2 )= ρS .					(В.24)
		Соотношение (В.24) совпадает с первым соотношением в формуле (В.3).
			r
Учитывая свойство скалярного произведения (A, B)=				B	AB	и тот	факт, что
Учитывая свойство скалярного произведения (A, B)=				B	AB	и тот	факт, что
	r	= 1, получаем следующее соотношение
	n0	= 1, получаем следующее соотношение
		D1n − D2 n	= ρS .				(В.25)

Последнее соотношение совпадает со вторым соотношением в формуле (В.3), т.е. определяет граничное условие в скалярной форме. Отметим, что соотношения (2.24) и (2.25) определяют граничное условие (в векторной и скалярной форме) для нормальных составляющих вектора электрической индукции в общем случае. В случае, когда граница раздела двух сред не является идеальным проводником, то в этих соотношениях надо положить

ρS = 0 .

120	ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

В.4. Вывод граничных условий для нормальных составляющих векторов магнитной индукции

Рассмотрим четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме

r
∫S B dS = 0 .	(В.26)
Из сравнения уравнений (В.26) и (В.18) видно следующее. Если в
уравнении (В.17) вектор D поменять на вектор	B , а величину ρ приравнять

нулю, то оно переходит в уравнение (В.26). Отсюда следует, что вывод граничных условий для касательных составляющих векторов напряженности электрического поля (формулы (В.4)) проводится по той же методике, что и вывод, проведенный в предыдущем пункте (с учетом указанных изменений).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.20252 Мб1Тестові питання до екзамену з історії України І...doc
#
01.03.2025509 Кб1Тесты по Биохимии.doc
#
01.04.20251 Мб1Тесты по темам МедБио.doc
#
19.04.201596 Кб18Тех. перевод.rtf
#
23.03.20166 Мб56техническая электродинам КПИ (Кривець).pdf
#
23.03.20164 Мб129Техническая электродинамика Черенков (Кривець).pdf
#
01.05.202527 Кб0Технічний аналіз.doc
#
07.08.201961 Кб9Технології паблік рілейшинз.docx
#
14.09.20192 Мб10Технології.docx
#
01.07.202513 Мб8ТЕХНОЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ.doc
#
01.07.20252 Мб8Технологія рослинництва.doc