Примерный вариант контрольной работы №3

1. Дан треугольник A( 1; 2 ), B( 4; 6 ), C( 0; 2 ). Найти: 1) уравнения сторон;

2) уравнение и длину медианы AM; 3) уравнение и длину высоты BD; 4) уравнение биссектрисы AK; 5) точку пересечения медианы AM с высотой BD и угол между ними.

2. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы y = 2x²+ 6x-5.

Математический анализ Предел функции

Пример 8. Найти предел

Решение. Для раскрытия неопределенности вида разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x (т.е. на x²). Получим:

Пример 9. Найти предел

Решение. При подстановке вместо x числа 2 мы получаем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности сначала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, а затем разложим выражения, стремящиеся к нулю, на множители:

Пример 10. Найти предел

Решение. Мы имеем дело с неопределенностью вида .

так как (первый замечательный предел).

Производная функции

Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Таблица производных:

Основные правила дифференцирования:

Пример 11. Найти производную функции

Решение.

Ответ:

Пример 12. Найти производную y(x) неявной функции:

Решение. Продифференцируем данное равенство по x:

Раскроем скобки:

Ответ:

Пример 13. Найти производную функции

Решение. Логарифмируя данное равенство, получим неявную функцию:

Дифференцируем данное равенство по x и находим y(x):

Ответ:

Пример 14. Найти производную y(x) функции, заданной параметрически:

Решение.

Ответ:

Пример 15. Вычислить приближенно, с помощью дифференциала.

Решение. Рассмотрим функцию

Пусть

Для нахождения воспользуемся формулой:

где - дифференциал функции.

Таким образом,

Примерный вариант контрольной работы №4

Найти предел функции:	Найти производную y(x):
	5. Вычислить приближенно, с помощью дифференциала:

За данную работу выставляется две оценки: одна по пределам, другая по производным.

Программа 2-го семестра

1. Понятие монотонности функции. Достаточные условия возрастания и убывания функции.

2. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума.

3. Достаточные условия экстремума.

4. Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба.

5. Достаточные условия выпуклости, вогнутости. Необходимое и достаточное условия перегиба.

6. Асимптоты плоской кривой. Нахождение вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот.

7. Полное исследование функции и построение ее графика.

8. Первообразная функции. Теорема об общем виде всех первообразных. Понятие неопределенного интеграла.

9. Свойства неопределенного интеграла. “Неберущиеся” интегралы.

10. Таблица интегралов.

11. Простейшие приемы интегрирования. Подведение множителя под знак дифференциала.

12. Замена переменной в неопределенном интеграле.

13. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

14. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.

15. Интегрирование тригонометрических функций.

16. Задача о площади криволинейной трапеции.

17. Определение определенного интеграла.

18. Основные свойства определенного интеграла.

19. Связь определенного интеграла с неопределенным, формула Ньютона-Лейбница.

20. Замена переменной в определенном интеграле.

21. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

22. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.

23. Вычисление длины дуги плоской кривой. Дифференциал дуги.

24. Вычисление объема тела с известным поперечным сечением.

25. Объем тела вращения.

26. Несобственные интегралы первого рода.

27. Несобственные интегралы второго рода.

28. Определение функции нескольких переменных, ее геометрический смысл.

29. Область определения функции нескольких переменных.

30. Линии уровня функции двух переменных, их геометрический смысл.

31. Частные производные первого порядка.

32. Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных, их геометрический смысл.

33. Дифференциал функции нескольких переменных и его применение к приближенным вычислениям.

34. Частные производные высших порядков.

35. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

36. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

37. Дифференциальные уравнения. Определение порядка дифференциального уравнения, решения, общего решения и частного решения.

38. Задача Коши.

39. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

40. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

41. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

42. Простейшие случаи понижения порядка дифференциального уравнения.

43. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.