Полное исследование функции и построение графика

Схема общего исследования функции:

Найти область определения функции .
Найти область значений функции (если это возможно), точки пересечения графика функции с осями координат, участки знакопостоянства.
Определить четность или нечетность функции.
Определить периодичность функции.
Найти вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты.
Найти критические точки первого рода.
Найти критические точки второго рода.
Заполнить таблицу исследования.
По результатам исследования построить график функции.

Пример 16. Провести полное исследование и построить график функции

Решение.

Область определения
Пусть x = 0, тогда y = 1,5. Пусть y = 0, тогда x = . То есть точки ( 0; 3/2 )

и (; 0 ) – являются точками пересечения графика функции с осями координат. Если , то y(x) < 0.

Если то y(x) > 0.

Функция общего вида, т. е. не является ни четной, ни нечетной. Действительно, То есть y(-x)  y(x) и y(-x) - y(x).
Функция не является периодической, так как она имеет только одну точку

разрыва.

а) Найдем вертикальные асимптоты графика функции. Вертикальные асим-

птоты бывают только в точках разрыва второго рода. В нашем случае подозрительной является точка x = 2. Найдем односторонние пределы:

Следовательно, прямая линия x = 2 – является вертикальной асимптотой.

Б) Уравнения наклонных (горизонтальных) асимптот графика функции будем искать в виде: y=kx+b, где k и b определяются по формулам:

Если x+ мы находим правую асимптоту, а если x- - левую. При k = 0 и b   мы получаем горизонтальную асимптоту, при k  0 – наклонную, а при k= или b= (или не существуют) –асимптота отсутствует.

В нашем случае

Таким образом, прямая y = x + 2 – является наклонной асимптотой.

Найдем первую производную функции:

Итак, критическими точками 1-го рода являются точки x = 1 и x = 3. Точка x=2 критической не является, т. к. она не принадлежит области определения функции.

Найдем вторую производную функции:

Критических точек второго рода функция не имеет.

Составим таблицу исследования функции:

x	(-; 1 )	1	( 1; 2 )	2	( 2; 3 )	3	( 3; )
y(x)	+	0	-	Не сущ.	-	0	+
y(x)	-	-	-	Не сущ.	+	+	+
y(x)	Возрастает, выпуклая.	Max y=2.	Убывает, выпуклая.	Не сущ.	Убывает, вогнутая.	Min y=6.	Возрастает, вогнутая.