Определенный интеграл
Пример
20. Вычислить
определенный интеграл:
.
Решение.
Пример
21. Вычислить
определенный интеграл:
.
Решение.
Пример 22. Вычислить площадь земельного участка, ограниченного линиями:
Решение. Построим данные линии в декартовой системе координат:
Рис. 2.
Земельный участок изображен заштрихованным. Найдем точку А пересечения параболы с прямой y = x - 1. Для этого решим систему:
Таким
образом,
Искомую площадь найдем по формуле:
Примерный вариант контрольной работы №6
-
Найти интеграл:
-
С помощью определенного интеграла вычислить площадь земельного участка, ограниченного линиями:
Функции нескольких переменных
Пример 23. Найти
область определения функции
Решение. Искомая
область определения является множеством
точек на плоскости XOY,
удовлетворяющих системе неравенств:
Неравенства
и
меняют свой знак на противоположный
(соответственно) при пересечении
следующих линий: x = y и
x = 0, y = 0. Эти линии разбивают
плоскость XOY на 6 областей.
Последовательно подставляя произвольные
точки, из каждой области в систему
,
убеждаемся в том, что объединение
областей (1) и (4) является областью
определения исходной функции. Причем
прямая x = y, за исключением
точки ( 0; 0 ), входит в область определения,
а прямые x = 0, и y = 0 – нет
(см. Рис. 3).
Рис. 3.
Пример 24. Найти
градиент функции
в точке
М( 4; 2 ) и производную
по направлению вектора
Решение. Найдем частные производные
и
Вычислим значения частных производных в точке М:
Таким образом, градиентом функции будет вектор:
Производную по
направлению вектора
найдем по формуле:
Пример 25.
Вычислить
приближенно, с помощью дифференциала.
Решение.
Рассмотрим функцию
.
Требуется вычислить значение
z1 этой функции
в точке (x1;
y1) =
( 0,09; 6,95 ). Вместо этого вычислим
значение z0
функции
в точке (x0;
y0) =
( 0; 7 ), а затем воспользуемся следующей
приближенной формулой:
.
В этой формуле dz – дифференциал
функции z = z(x; y), вычисленный
в точке (x0;
y0).
Дифференциал dz
вычисляется по формуле:
,
где
честные производные функции z
= z(x; y),вычисленные в точке
(x0;
y0), а
dx и dy – дифференциалы
(приращения) независимых переменных:
dx = x1
– x0,
dy = y1
– y0.
В нашем случае: dx = 0,09 – 0 = 0,09; dy = 6,95 – 7 = – 0,05.
Следовательно,
Итак,
Пример 26. Найти
все вторые частные производные функции
и убедится в том, что смешанные производные
равны
.
Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка:
2) Найдем частные производные второго порядка:
Таким образом,
.
Пример 27. Найти
экстремумы функции
.
Решение. Найдем
частные производные первого порядка:
,
.
Приравняем полученные частные производные
к нулю. Получим систему уравнений для
определения точек, подозрительных на
экстремум:
.
Решим данную систему, например методом
Крамера.
Следовательно,
.
Таким образом, точка М(1; -3) – является
единственной точкой, подозрительной
на экстремум.
Найдем частные производные второго порядка:
.
В точке М вычислим дискриминант D по формуле D = AC – B2, где
То есть D = 32 – 9 = 23.
Так как дискриминант больше нуля, то в точке М функция имеет экстремум. А именно минимум, поскольку А и С больше нуля. При этом
