Взаимное положение прямых и плоскостей

Параллельность прямой и плоскости

Признак: прямая параллельна плоскости, если в этой плоскости есть хотя бы одна прямая, параллельная данной.

a'' c'' b''

X

a' c' b'

α(b c)/\a || c => a || α

Параллельность двух плоскостей

Признак: две плоскости параллельны друг другу, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

a'' b'' c'' d''

X

a' b' c' d'

α(a b)/\β(c d)/\a || c/\b || d => α || β

Перпендикулярность прямой и плоскости

Признак: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости.

n | a/\n | b/\α(a b) => n | α

n

b a

α

Правило: фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости, а горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

n'' | f''/\n' | h'

n'' f''

M'' l''

K'' h''

K' f'

n'

M' l' h'

Перпендикулярность двух плоскостей

Если одна из плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эта плоскость перпендикулярна ей.

f''

n n'' m''

m h''

a X

b f'

m'

n' h'

n | α(h f)/\β(n m) => α | β

Пересечение прямой и плоскости

а) a – общего положения

α | π₁ a'' f_0α

K''

X

a'

K'

h_0α

б) α – общего положения

α | π₁ K''

b'' c''

1'' 2''

X a''

b' c'

1' a'≡K' 2'

f_0α a''

1''

X

1'

h_0α

B''

f_0γ

a'' 1''

4'' K'' 2'' C''

3''

A''

X

C'

3'≡4' 2'

K' a'

A'

1'

B'

Чтобы построить точку пересечения прямой и плоскости общего положения необходимо:

1. Заключаем прямую в проецирующую плоскость

2. Найти линию пересечения этой проецирующей плоскости и заданной плоскости

3. Найти точку пересечения вышенайденной линии пересечения и заданной прямой.

1. γ a/\γ | π₂

2. γ α(∆ABC)=(1,2)

3. (1,2) A=K

a α(∆ABC)=K

Пересечение двух плоскостей

а) одна из плоскостей – общего положения, другая - проецирующая

α(о.п.) β(β | π₂)=(1,2)

f_0β f_0α

1''

X 1' 2''

2'

h_0α

h_0β

б) обе общего положения

α(h_0α, f_0α) – о.п. /\ β(h_0β, f_0β) – о.п.

α β=(1,2) f_0β f_0α

2''

1'' 2'

X

1'

h_0β h_0α

в) обе общего положения

a'' b'' f_0β

1'' 2'' M'' 5'' f_0γ1

3'' 4'' N'' 6''

f_0γ2

X 5' 6'

a' b'

3' 4'

1'

2' h_0β

M' N'

h'_β1 h'_β2

Алгоритм решения задач на построение линий пересечения двух плоскостей

1. Задать вспомогательную плоскость частного положения, проецирующую или уровня

2. Построить линии пересечения этой вспомогательной плоскости с обеими заданными плоскостями

3. Найти точку пересечения этих двух линий пересечения. Найденная точка – это одна из двух точек линии пересечения плоскостей, вторая находится аналогично.

1. γ₁ || π₁

2. γ₁ α(a || b)=(1,2)

γ₁ β(h_0β,f_0β)=h_0β1

3. (1,2) h_0β1=M

α β=(M,N)