6.1. Прохождение электронов в структурах с одиночными квантовыми ямами и потенциальными барьерами

Характер осцилляций продольного тока, протекающего в поперечном к слоям квантовой гетероструктуры направлении, определяется вероятностью прохождения через них электронов с заданной скоростью или энергией. Эта вероятность называется коэффициентом пропускания или коэффициентом прохождения Т. Расчет коэффициента пропускания как функции энергии электрона Е основывается на решении стационарного уравнения Шредингера. Наиболее простой вид функция Т(Е) имеет в гетероструктурах с одной КЯ или одним ПБ в отсутствие электрического поля.

6.1.1. Коэффициент пропускания и резонансное туннелирование электронов при прохождении над квантовой ямой

Рассмотрим одномерную задачу о движении электрона в зоне проводимости над прямоугольной потенциальной ямой. Для этого найдем волновую функцию электрона с заданной энергией Е > 0, движущегося вдоль оси симметрии гетероструктуры z (рис. 6.1). В приближении эффективной массы²² уравнение Шредингера для этого движения запишем в виде

Рис.6.1. Прохождение электрона над квантовой ямой

, (6.1)

где

-потенциальная энергия электрона, - глубина и ширина КЯ. С учетом зависимости разобьем всю гетероструктуру на три области, в каждой из которых потенциальная энергия является константой, а решение для волновой функции будем искать в виде суперпозиции падающей и отраженной волны слева от КЯ и в самой КЯ и прошедшей волны справа от КЯ:

(6.2)

где , - константы.

Согласно квантовой механике [17], каждый электрон при своем движении создает электрический ток с плотностью

, (6.3)

где i - мнимая единица. Согласно этой формуле, с учетом (6.2) плотность тока, создаваемая электроном в каждой из областей гетероструктуры, равна

(6.4)

где знак (+) над j соответствует плотности тока, создаваемой электронной волной, движущейся в положительном направлении оси z, а знак (-) - в обратном; -скорости электрона с энергией Е над КЯ и вне ее. Согласно (6.4), при падении электронной волны на гетероструктуру часть ее проходит, а часть отражается. Отношение плотности тока, соответствующей прошедшей волне, к плотности тока падающей на гетероструктуру волны называется коэффициентом пропускания или коэффициентом прохождения Т. Согласно данному определению коэффициент прохождения определяется через амплитуды падающей и прошедшей волны

. (6.5)

Для коэффициента отражения R по аналогии с коэффициентом пропускания имеем

. (6.6)

Согласно закону непрерывности электрического тока , откуда следует связь между коэффициентом пропускания и отражения

. (6.7)

Чтобы рассчитать R и T, необходимо использовать условия сшивания для волновой функции и ее производной, вытекающие из уравнения непрерывности для электронной плотности [17]:

. (6.8)

Эти условия приводят к системе 4-х уравнений для неизвестных амплитуд , решение для которых выражается через заданную амплитуду падающей волны . При подстановке этих решений в (6.5), формула для коэффициента пропускания принимает вид

. (6.9)

Согласно этой формуле коэффициент Т является осциллирующей функцией энергии электрона Е, максимальное значение которой равняется единице и соответствует полной прозрачности структуры. Достигается это значение при некоторых – резонансных значениях энергий E_n, удовлетворяющих условию , где n целое положительное число. Причина столь необычного результата связана с наличием отраженных волн от гетерограниц, которые при резонансных значениях энергии электрона гасят друг друга за счет интерференции между собой.

Из условия для резонансных значений энергии при E_n > 0 с учетом (6.2) получаем

, (6.10)

где . Если , где n₁ - целое число, тогда квантовое число n может принимать значения , а первый резонансный уровень . Такие КЯ называются резонансными [23].

С учетом зависимости энергии Е от волнового числа q (см.(6.2)) формулу (6.9) можно переписать в удобном для анализа виде

. (6.11)

С

Рис. 6.2. Зависимость коэффициента прозрачности от энергии

при прохождении электрона над резонансной КЯ.

огласно этой формуле для резонансной КЯ при коэффициент пропускания , тогда как для нерезонансных КЯ при Е=0 коэффициент пропускания Т=0. На рис. 6.2 представлена зависимость T(E), рассчитанная для резонансных КЯ. Кривой с номером m соответствует значение глубины квантовой ямы . Из рисунка следует, что значения коэффициента прохождения относительных минимумов с ростом энергии электрона быстро стремятся к единице. Т.е. перепад между соседним максимумом и минимумом с ростом энергии стремится к нулю, а, следовательно, резонансные свойства коэффициента прохождения исчезают.