6.2. Туннелирование электронов через двухбарьерную квантовую структуру (дбкс)

Двухбарьерной квантовой структурой будем называть гетероструктуру, состоящую из пяти слоев, в которой профиль дна зоны проводимости в поперечном для слоев направлении имеет вид, представленный на рис. 6.5. Коэффициент прохождения такой структуры электронами T представляет собой в общем случае осциллирующую функцию, что приводит к возникновению ОДП. Чтобы рассчитать коэффициент прохождения, необходимо решить уравнение Шредингера для свободных электронов, проходящих через эту структуру, аналогично тому, как это было сделано в случае надъямного и надбарьерного прохождения. Однако эту задачу можно упростить, если воспользоваться аналогией между прохождением электронной волны через ДБКС и прохождением электромагнитной волны через резонатор Фабри - Перо. Резонатор представляет собой прибор в виде прозрачной пластинки с полупрозрачными гранями, который может работать как оптический фильтр, пропуская через себя электромагнитные волны лишь с определенными частотами.

6 Рис. 6.5. Потенциальный рельеф несимметричной дбкс с двумя резонансными энергетическими уровнями е1 и е2 в квантовой яме .2.1. Прохождение электромагнитных волн через резонатор

Фабри -Перо. Резонансные частоты

Проведем расчет коэффициента прохождения электромагнитной волны через резонатор Фабри-Перо, образованный двумя плоскими полупрозрачными зеркалами, при нормальном падении света на плоскость зеркал. На рис. 6.6 представлена схематическая картина падающей плоской электромагнитной волны с напряженностью электрического поля F, прохождение которой сопровождается отражением, преломлением и интерференцией когерентных волн. В результате этого падающая волна распадается на отраженную с напряженностью поля и прошедшую с напряженностью . На рисунке для наглядности волна падает под углом близким к нулю. Согласно определению, коэффициент прохождения электромагнитной волны представляет собой отношение потока энергии прошедшей волны к потоку энергии падающей волны. Поэтому, чтобы его найти необходимо рассчитать напряженность поля прошедшей волны по заданному значению F падающей волны^*.

Рис. 6.6. Прохождение электромагнитной волны

через резонатор Фабри – Перо.

С учетом формул Френеля [17] при нормальном падении света для прошедших через резонатор когерентных волн получаем

,

(6.15)

,

где , - коэффициенты прохождения и отражения амплитуды электрического вектора, соответствующие различным зеркалам резонатора; - комплексные показатели преломления; - частота света; d - толщина резонатора (см. рис.6.6). Амплитуды отраженных волн отмечены одним штрихом, прошедших - двумя, падающих- не отмечены. С учетом формул (6.15), для коэффициента прохождения амплитуды, используя формулу для геометрической прогрессии, получаем

. (6.16)

Пользуясь формулой (6.16), для искомого коэффициента прохождения по мощности будем иметь

, (6.17)

где -коэффициент поглощения среды между зеркалами резонатора, - время прохождения света через пластинку, . В приближении малой прозрачности зеркал и слабого поглощения () коэффициент пропускания (6.17) с учетом того, что , принимает более простой вид

, (6.18)

где .

Согласно формулам (6.17), (6.18) коэффициент прохождения как функция частоты носит осциллирующий характер и имеет максимумы на резонансных частотах, удовлетворяющих уравнению

. (6.19)

Вблизи резонансной частоты с номером n функция Т принимает вид

, (6.20)

где - отклонение частоты от резонансной,

, , , (6.21)

- нагруженная, собственная и внешняя добротности резонатора на частоте , - среднее время жизни фотона в резонаторе², связанное с поглощением. В случае идентичных зеркал при слабом поглощении света функция Т в области частоты принимает наиболее простой вид

(6.22)

и при принимает максимальное значение, равное единице.

Рассмотрим специфику электромагнитных волн, для которых коэффициент прохождения имеет максимальное значение.

Для этого решим уравнение (6.19), предполагая, что зеркала резонатора идентичны и представляют собой металлический напыленный слой на прозрачной пластинке. Это соответствует следующим приближениям (см. рис.6.6):

.

С учетом данных приближений для коэффициента отражения зеркал получаем

,

, (6.23)

,

где .

Из формул (6.23) следует, что фазой  в уравнении (6.19) можно пренебречь. Тогда для резонансных частот получаем простую формулу

. (6.24)

Из этой формулы, где - период колебаний с частотой , следует, что резонансным частотам соответствуют такие волны, которые удовлетворяют условию стоячих волн в резонаторе

. (6.25)

Рис. 6.7. Зависимость коэффициента прохождения света через резонатор

Фабри-Перо от частоты:

На рис. 6.7 представлена зависимость коэффициента прохождения света через резонатор Фабри -Перо от частоты, рассчитанная по формуле (6.18) в приближении идентичных зеркал и пренебрежимо малом значении фазы, при различных значениях коэффициента прохождения зеркал и коэффициента межзеркального поглощения. Из рисунка следует, что уменьшение прозрачности зеркал (увеличение внешней добротности) существенно уменьшает нерезонансное прохождение и слабо влияет на резонансное. Наоборот, увеличение коэффициента поглощения и толщины резонатора (уменьшение собственной добротности) приводит к резкому уменьшению коэффициента вблизи резонансного прохождения и слабому уменьшению в области нерезонансных частот.