6.2.2 Энергетический спектр электронов в изолированной

несимметричной КЯ.

Рис. 6.8. Профиль несимметричной квантовой ямы.

Рассмотрим общий случай энергетического спектра электрона в изолированной несимметричной КЯ, которая представляет собой КЯ несимметричной ДБКС при бесконечной толщине барьеров. Для этого необходимо решить уравнение Шредингера (6.1) для электрона в потенци-альной яме, профиль которой представлен на рис. 6.8, при условии, что энергия электрона соответствует локализованному движению . С учетом того, что при данных значениях энергии волновая функция электрона в барьерах будет иметь затухающий характер, уравнения (6.2) в данном случае запишутся в виде

(6.26)

где -коэффициенты затухания волновой функции в барьерах,- волновое число электрона в КЯ, - константы. Для решения этой системы уравнений нужно воспользоваться условиями сшивания волновой функции и её производной на гетерогранице, в результате чего получается трансцендентное уравнение для расчета разрешенных значений волнового числа q и энергии Е.

Пользуясь видом волновой функции в барьерах и КЯ, с учетом условий сшивания на гетерограницах (6.8) получаем систему уравнений для расчета собственных значений энергии

. (6.27)

Решение этой системы уравнений упрощается, если учесть, что оператор Гамильтона в уравнениях (25) является вещественным. Согласно квантовой механике [11] это означает, что комплексно сопряженная волновая функция тоже является решением уравнения Шредингера с заданным значением энергии Е, а поэтому волновую функцию можно выбрать вещественной. Для этого будем считать, что

, (6.28)

где амплитуды А_i являются вещественными величинами,  - фазовый множитель. С учетом (6.28) система уравнений (6.27) перепишется в виде

(6.29)

Из первых двух уравнений этой системы получаем

, (6.30)

откуда следует, что при положительных значениях k₁ и q фаза  может меняться в пределах

, (6.31)

где , m - целое число. Заменяя в системе уравнений (6.29)  на  и избавляясь от амплитуд, с учетом (6.26), (6.31) эту систему можно привести к виду

(6.32)

Решая эти трансцендентные уравнения относительно аргументов периодических функций, получаем

. (6.33)

С учетом формул (6.33) искомое уравнение для расчета собственных уровней энергии принимает вид

(6.34)

Величина n не может равняться нулю, так как энергия электрона в КЯ, а следовательно и q, не могут равняться нулю в силу соотношения неопределенности Гейзенберга. Поскольку аргумент функции arcsin может меняться от нуля до единицы, то при из (6.33) вытекает условие на величину q

, (6.35)

которое ограничивает число возможных решений для собственных значений энергии . Следовательно, для несимметричной КЯ с конечной высотой барьеров может существовать лишь конечное число разрешенных (собственных) уровней энергии (см.ниже).

В уравнении (6.34) левая часть с ростом q возрастает, а правая убывает. Отсюда следует, что решение для q при n  0 возможно только при условии, что левая часть при максимальном значении q будет больше, чем правая

. (6.36)

Из этого уравнения при n=1 вытекает, что при достаточно малых значениях a и V₁, если выполняется условие

, (6.37)

связанные состояния в несимметричной КЯ существовать не могут.

Учитывая аналогию между электромагнитной волной и электронной, следует ожидать, что зависимость коэффициента прохождения электрона через ДБКС от энергии будет иметь качественно тот же вид, что и зависимость коэффициента прохождения электромагнитной волны через резонатор Фабри-Перо от частоты. Так что резонансные пики коэффициента прохождения электрона через ДБКС также будут соответствовать резонансным частотам или энергии собственных состояний КЯ этой структуры.

Для симметричной КЯ (V₁=V₂=V) уравнение (6.34) принимает известный вид [17]

, (6.38)

а условие существования собственного значения энергии с номером n (6.36) преобразуется к виду

, (6.39)

которое выполняется при любом значении a и V. Из этого следует, что симметричная КЯ отличается от несимметричной тем, что в любом случае имеет хотя бы одно связанное состояние. В общем случае число разрешенных уровней энергии в симметричной прямоугольной КЯ конечной глубины с учетом (6.39) равно целой части от величины

В случае бесконечно глубокой КЯ (V) уравнение (6.38) имеет аналитическое решение, соответствующее стоячим волнам (см. (6.25))

. (6.40)

Энергетический спектр в этом случае, как и для электрона в атоме водорода, представляет собой бесконечный набор дискретных уровней, зависящих от целого квантового числа n. Однако, если в атоме водорода и при значение , то в КЯ уровни и при значение .

Формулой (6.40) для расчета E_n можно пользоваться и при конечном значении V, если выполняется условие, вытекающее из (6.38) и (6.39)

, (6.41)

которое соответствует достаточно большим значениям ширины КЯ a и высоты барьера V. В противном случае, когда ширина КЯ и высота барьера настолько малы, что в КЯ реализуется лишь одно связанное состояние, его энергию можно рассчитать по формуле³

. (6.42)

Для КЯ произвольной формы вид волновой функции и положение разрешенных уровней энергии определяются из решения уравнения Шредингера (6.1) с потенциальной энергией общего вида. Для практически важного случая симметричной КЯ в однородном электрическом поле с напряженностью поля функцию потенциальной энергии можно представить в виде (рис. 6.9)

Рис. 6.9 Вид симметричной КЯ в однородном электрическом поле.

.

В этом случае собственные волновые функции электрона выражаются через функции Эйри [17], а собственные значения энергии E_n(F) близки к дискретным уровням прямоугольной симметричной КЯ глубиной . Это означает, что собственные уровни энергии КЯ в электрическом поле связаны с уровнями энергии КЯ без поля E_n приближенным соотношением

. (6.43)

Из этой формулы вытекает, что положением резонансных уровней в КЯ с помощью поперечного электрического поля можно легко управлять. Следует отметить, что в КЯ произвольной формы от поля будет зависеть не только положение самих уровней энергии, но и их положение относительно друг друга. Это определяет зависимость от электрического поля спектра межподзонного оптического поглощения, связанного с оптическими переходами электронов между уровнями E_n(F).