2.3. Локализованные состояния

Из зонной теории твердого тела известно, что локализованные состояния⁹носителей заряда появляются в полупроводниках при наличие примесных атомов, различного рода дефектов кристаллической решетки или при низких температурах. В последнем случае говорят об экситонах как о свободных квазичастицах, состоящих из электрона и дырки. Так как эти локализованные состояния формируются из волновых функций носителей заряда, наличие размерного квантования в низко размерных структурах существенным образом влияет и на них.

2.3.1. Мелкие водородоподобные примеси¹⁰

Энергетический спектр водородоподобной примеси в квантовой яме в приближении скалярной эффективной массы рассчитывается с помощью стационарного уравнения Шредингера

(2.38)

с граничными условиями на бесконечности, где –потенциальная энергия носителя заряда в КЯ, z₀ – координата примесного иона в КЯ. Решения этого уравнения существенным образом зависят от ширины квантовой ямы a относительно боровского радиуса¹¹ r_B основного состояния примеси в объемном полупроводнике, из которого состоит КЯ.

Для бесконечно глубокой КЯ при , так как , а , уравнение (2.38) существенно упрощается и допускает решение методом разделения переменных в виде

, (2.39)

где –огибающая волновой функции уровней размерного квантования в КЯ, определяемая формулами (2.5), –огибающая волновой функции примесных состояний двумерной водородоподобной примеси, являющаяся решением уравнения

(2.40)

с граничными условиями на бесконечности. Собственные значения функций (2.39) равны

, (2.41)

где – эффективный ридберг, –энергия уровней размерного квантования в КЯ, определяемая формулой (2.9).

Из формулы (2.41) следует, что каждому уровню размерного квантования с номером m соответствует целый спектр примесных состояний с различным значением квантового числа n. При все эти уровни находятся в области непрерывного энергетического спектра подзон КЯ. Носители заряда на этих дискретных уровнях долго находиться не могут и за счет большой плотности состояний в подзонах быстро на них переходят. Поэтому эти примесные состояния, которые называются резонансными, имеют конечное время жизни и, следовательно, конечную ширину даже в отсутствии столкновений [1]. Основное примесное состояние () находится ниже дна первой подзоны на величину , что в четыре раза больше энергии связи или ионизации основного состояния водородоподобной примеси в объемном полупроводнике. Таким образом наличие размерного квантования приводит к появлению резонансных примесных состояний и существенному увеличению энергии связи.

Если ширина a бесконечно глубокой КЯ сравнима с r_B, согласно уравнению (2.38) энергия всех примесных состояний, включая и резонансные, будет зависеть от положения примеси относительно стенок КЯ, т.е. от координаты z₀. Наличие этой зависимости приводит к появлению в запрещенной зоне КЯ примесной зоны, состоящей из уровней основного состояния примеси, которая располагается в КЯ случайным образом. Численный расчет этой зоны показал, что ее дисперсия по z₀ характеризуется максимальным значением энергии ионизации в центре прямоугольной КЯ и уменьшением этой энергии при приближении к ее стенкам.

При большой ширине КЯ () влияние стенок на примесные атомы, удаленные от них на расстояние большее чем r_B, будет незначительным. Следовательно энергия ионизации основного состояния этих атомов не изменится.

На рис. 2.2. представлена качественная зависимость энергии ионизации основного состояния водородоподобной примеси в центре бесконечно глубокой прямоугольной КЯ от ее ширины, где и –эффективные ридберги в квантовой яме и барьере.

Для водородоподобной примеси с координатами x₀ и y₀ в плоскости сечения, перпендикулярного оси квантовой нити, уравнение (2.38) преобразуется к виду

Рис. 2.2. Зависимость энергии ионизации основного состояния

водородоподобной примеси в центре бесконечно глубокой прямоугольной КЯ

от ее ширины.

.

(2.42)

В предельном случае двумерной КЯ, состоящей из двух прямоугольных бесконечно глубоких потенциальных ям (см. (2.21)), при уравнение (2.42) упрощается и допускает решение методом разделения переменных с огибающей функцией

, (2.43)

где –огибающая функция уровней размерного квантования в КН, –огибающая волновой функции примесных состояний одномерной водородоподобной примеси, являющаяся решением уравнения

(2.44)

с граничными условиями ,

где . (2.45)

При энергия основного состояния . Это означает, что в предельном случае нулевого сечения КН водородоподобная примесь связанных состояний не имеет. Однако при конечных малых значениях этого сечения энергия связи может быть сколько угодно большой.

В короткопериодических СР для оценки энергии связи мелкой водородоподобной примеси можно воспользоваться уравнением Шредингера в приближении изотропной эффективно массы

, (2.46)

где –эффективная масса на дне первой минизоны. Из уравнения (2.38) следует, что энергия связи зависит от эффективных масс m* и как от параметров. Согласно численному решению этого уравнения для случая энергия связи изменяется в пределах от R* при до 4R* при .

Из выше сказанного следует, что уменьшение размерности структуры от трехмерного объемного полупроводника к квазитрехмерной в СР, двумерной в КЯ и одномерной в КН приводит к увеличению энергии связи мелкой водородоподобной примеси.

В случае точных расчетов при решении уравнений (2.38), (2.42) и (2.46) необходимо учитывать различие эффективной массы носителей заряда и диэлектрической проницаемости в различных слоях рассматриваемых структур.

2.3.2. Экситоны Мотта¹²

Уравнение Шредингера для экситонов Мотта в КЯ аналогично уравнению (2.38) для мелкой водородоподобной примеси

, (2.47)

где индексы e и h относятся соответственно к электрону и дырке. В предельном случае бесконечно глубокой и узкой прямоугольной КЯ, когда ширина ямы много меньше боровского радиуса экситона в объемном материале (, ), это уравнение решается методом разделения переменных с функцией

, (2.48)

где , –радиус вектора центра тяжести и относительного движения электрона и дырки в плоскости свободного движения экситона; –волновой вектор свободного движения экситона; , –огибающие функции уровней размерного квантования электрона и дырки в КЯ. Огибающая функция относительного движения электрона и дырки внутри связанного экситона является решением уравнения (2.40) с нулевым граничным условием, в котором эффективную массу m* нужно заменить на приведенную или оптическую эффективную массу носителей заряда . Энергия связанных состояний двумерного экситона, как и энергия локализованных состояний двумерной водородоподобной примеси определяется формулой (2.41) с эффективным ридбергом . Согласно этой формуле в предельном случае энергия связи двумерного экситона, как и энергия связи двумерной водородоподобной примеси в четыре раза больше чем в трехмерном случае. Это означает, что экситонные эффекты в низкоразмерных структурах должны проявляться при температурах существенно более высоких, чем в трехмерных полупроводниках.

Полная энергия двумерного экситона, соответствующая огибающей волновой функции (2.48) включает энергию электрона и дырки в подзонах КЯ, энергию свободного движения экситона как целого и энергию связи электрона и дырки

. (2.48)

Из формулы (2.48) следует, что каждой паре подзон, одна из которых электронная, а другая дырочная, соответствует спектр экситонных состояний с различными значениями квантового числа n и волнового вектора . Если прямой экситон возникает за счет поглощения фотона, его квазиимпульс можно считать равным нулю. Т.к. согласно закону сохранения импульса при энергии фотона близкой к ширине запрещенной зоны полупроводника его импульс пренебрежимо мал по сравнению с тепловым импульсом электронов и дырок.

Рассмотрение экситонных эффектов в квантовых нитях является более сложным, чем в квантовых ямах. Однако с достаточно хорошей точностью можно считать, что энергия связи экситона в КН отличается от соответствующей энергии связи водородоподобной примеси заменой m* на  [1], т.е. может быть как угодно большой.

В наиболее распространенных полупроводниках, к которым принадлежат Ge, Si и соединения A³B⁵, валентная зона которых носит сложный характер и содержит ветви тяжелых и легких дырок, существует два типа экситонов и акцепторных примесных состояний, связанных с этими дырками [1].