§ 7 Критерий максимизации совокупной полезности потребляемых благ при заданных бюджетных ограничениях

Рассмотрим случай приобретения двух видов благ A и B в условиях ограниченного бюджета. Пусть потребитель обладает денежными ресурсами в объеме R и намерен израсходовать их на приобретение благ видов A и B предлагаемых на рынке по ценам и . При этом процесс приобретения благ разбит на n шагов, на каждом из которых покупатель расходует одинаковую порцию денежных ресурсов . На каждом шаге необходимо принять решение о приобретении очередной порции блага либо вида A либо B.

Возникает вопрос: каким образом следует распределить имеющие ресурсы в объеме R, чтобы получить максимальную совокупную полезность от приобретения благ.

Пусть – функция совокупной полезности при приобретении блага A в количестве Х, – блага B в количестве Y. Тогда ограничение по денежным ресурсам примет вид: .

Будем считать, что блага А и В не являются взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми, то есть функция не зависит от Y, а функцию не зависит от Х. Если на конкретном шаге покупатель принял решение приобрести благо А в количестве , то прирост полезности составит .

Если принято решение приобрести благо вида B в количестве , то прирост полезности составит .

Очевидно, при этом предпочтение надо отдать такому виду блага, который обеспечит больший прирост полезности . Например, условием приобретения блага A на очередном шаге является условие:

(3) или

или (4)

Отношение называют предельной полезностью блага вида A в расчете на единицу затрат ресурса (предельная полезность блага A на одну затраченную для этого денежную единицу).

Т.о., неравенство (4) дает критерий выбора потребителем вида A или B потребляемого блага, согласно которому на каждом шаге использования денежного ресурса в объеме предпочтение нужно отдать приобретению такого вида блага, предельная полезность которого в расчете на единицу затрат ресурса больше.

Пока выполняется условие (3) потребитель будет увеличивать объем Х потребления блага A, снижая при этом предельную полезность этого блага до тех пор, пока на некотором шаге не возникнет ситуация , и тогда потребитель начнет приобретать другое благо – благо вида B.

Т.о. многократно используя критерий (3,4), потребитель стремится уравнять и , т.е. достичь условия потребительского равновесия: (5) или (6).

Известно что, если на последнем шаге расходования денежного ресурса R потребителю удалось достичь условия равновесия (5-6), то он обеспечивает себе оптимальный вариант приобретения благ видов A и B, и получить максимум совокупной полезности max при заданном бюджетном ограничении R.

Величины и являются корнями системы уравнений

§ 8 Решение типовых задач теории предельной полезности

Задача 1. Дана функция полезности U(X) блага Х. Определить:

1. максимальное количество блага х₀, которое выгодно приобрести потребителю при рыночной цене р₀ этого блага;

2. максимальную величину «дополнительной выгоды потребителя» от приобретения данного блага;

3. выгодно ли потребителю приобретать очередную порцию блага по цене р₁, если он уже обладает этим благом в количестве х₁единиц;

4. рыночную цену р₂ блага, чтобы потребитель приобрел не более х₂единиц этого блага.

Случай 1 Рассмотрим степенную модель функции совокупной полезности: (>0, 0<<1).

Пусть = 5, = 0,15; р₀=0,5, х₁=1,3; р₁=1,4, х₂=1,5. Тогда имеем .

1. Найдем максимальное количество блага х₀ из условия . Имеем:  х=1,6112.

2. Величину предельной выгоды найдем по формуле , где - совокупная полезность данного запаса блага, - затраты на приобретение этого запаса благ. Тогда

; .

3. Потребителю выгодно приобрести дополнительную порцию блага по цене р₁=1,4, когда он уже обладает этим благом в количестве х₁=1,3 единиц, если выполняется условие: , т.е.   0,6 1,4 - ложь. Условие не выполняется, следовательно потребителю не выгодно приобрести дополнительную порцию блага по цене 1,4, если он уже обладает этим благом в количестве 1,3 единиц.

4. Потребитель приобретет не более х₂=1,5 единиц блага, если значение рыночной цены р₂ блага удовлетворяют условию . В рассматриваемом случае , т.е.  . Т.о. при рыночной цене р₂0,531 потребителю выгодно приобрести не более 1,5 единиц данного блага.

Задача 2. Найти оптимальную структуру потребления благ видов A и B, реализуемых на рынке по ценам и , если функции совокупных полезностей этих благ имеют вид и соответственно, а выделенный на приобретение этих благ ресурс равен R=2,5 (х –количество потребляемого блага A, y – количество потребляемого блага В). a = 2, .

По условию задачи ; . Тогда , .

Бюджетные ограничения описываются уравнением: или =1.

Оптимальную структуру потребления благ А и В найдем из системы

Имеем откуда . Т.о., оптимальный объем потребления блага А составляет ед., а блага В - ед.

Бюджетная линия 10