Экономический смысл производной. Понятие теории предельного анализа. Эластичность функции

§ 1 Экономический смысл производной Математический аппарат дифференциального исчисления широко используется в курсе современного экономического анализа. Всякая экономическая деятельность осуществляется для достижения некоторого результата у и требует приложения определенных усилий х. Пусть зависимость между усилием х и результатом у описывается функцией у = f (х) непрерывной на некотором промежутке Х.

Изменение усилий х на величину х0 приводит к изменению результата у на величину ∆у(х)=f(х+∆х)-f(х).

Разностное отношение представляет собой среднюю эффективность усилий у, прилагаемых на уровнях. Предельную эффективность рассматриваемого экономического процесса на уровне х найдем, перейдя к пределу . Т.о., предельная эффективность на уровне усилий х вычисляется как производная результата: .

у f(х+∆х) ∆у f(х) х х+∆х х

Пример 1. Пусть функция U=U(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент времени t₀.

За период времени [t₀;t₀+t] производительность труда изменится на величину и средняя производительность Z_ср труда за интервал времени t составит .

Производительность труда Z в момент времени t₀ найдем как предельное значение средней производительности Z_ср при : .

Пример 2. Пусть х – объем выпущенной продукции, а у – затраты на её производство, тогда описывает предельные издержки производства при заданном объеме х выпускаемой продукции.

Пример 3. Пусть х – количество потребленного человеком блага, а у – полезность этого баланса, тогда представляет собой предельную полезность этого баланса на заданном уровне х его потребления.

Пример 4. Пусть х – объем продаж, а у – общая выручка от продажи, тогда характеризует предельную выручку на уровне продаж х.

Аналогичным образом определяются предельный доход, предельный продукт и др. предельные величины. Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических явлений на основе анализа соответствующих предельных величин называется предельным анализом. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величина), а процесс изменения экономического явления. При этом производная выступает как скорость изменения некоторого экономического явления во времени или относительно другого экономического фактора.

В экономической литературе предельные величины называют маржинальными. При их записи к обычному обозначению величин добавляется буква М. При записи средних величин добавляется буква А. (от англ. Average – средняя). Например, МК – предельный доход; АК – средний доход.

§ 2 Соотношения между средним и предельным доходами в условиях монопольного и конкурентного рынков Пусть произведена продукция в объеме q, и p – цена единицы продукции. Тогда доход (выручка) D от реализации произведенной продукции составляет: D = pq.

В условия монополии полностью контролируется предложение, а значит и цена p продукции. При этом, как правило, с увеличением цены p спрос на продукцию падает. Предположим, эта тенденция описывается линейным законом p=aq+b, (a<0,b>0). Тогда суммарный доход D от реализованной продукции составит: , cредний доход составит: , а предельный доход, т.е. дополнительный доход от реализации дополнительной продукции, составит . Т.о., в условиях монопольного рынка с ростом количества

D D 0

реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению среднего дохода.

Рассмотрим монопольный (конкурентный) рынок. В условиях совершенной конкуренции продажа товаров в основном осуществляется по рыночной цене, например, p = b. Тогда суммарный доход составит D = bq, средний доход , предельный доход (средний и предельный доходы совпадают).

D D (суммарный доход) Dср (средний доход) (предельный доход) 0 q