§ 8. Метод разделения для уравнений эллиптического типа

Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике (полупо- лосе), решаются методом разделения переменных в декартовых коорди- натах, в круговой областях (круг, сектор, кольцо) методом разделения пе- ременных в полярных координатах. При решении краевых задач для ци-линдрических и сферических областей используются соответственно ци- линдрические и сферические координаты бесселевы функции, полиномы и присоединённые функции Лежандра, а также шаровые функции. Возни- кающие здесь задачи ШтурмаЛиувилля своеобразны, их граничные ус- ловия определяются спецификой областей:

следует искать в виде суммы u(x,y)=v(x,y)+w(x,y), где v(x,y) и w(x,y) гар- монические функции в том же самом треугольнике, точнее они суть ре-шения краевых задач

Штрихованные краевые задачи решаются методом разделения пере- менных в терминах тригонометрических и гиперболических функций.

Рассмотрим задачу Дирихле для круга

где f() кусочно-непрерывная функция.

Следуя схеме метода Фурье полагаем

u (r, ) = R (r) () (89)

подставляем в (87) и разделяем переменные. В результате получим ра -венство

(90)

Угловая функция () обязана быть периодической с периодом 2. Присоединяя условие периодичности к дифференциальному уравнению для (), найдем задачу ШтурмаЛиувилля

откуда следует, что

(91)

Возвращаясь к (80), решаем уравнение для радианальной функции. При

n  1 имеем

r²R + rR n²R = 0,

решение следует искать в виде степенной функции R=r^. Для определе- ния  получим соотношение

(1)r^+ r^n²r^=0  ²n²=0,

поэтому

 =  n, R_n(r) = rⁿ; r^-n. (92)

Если же n=0, то уравнение, как нетрудно проверить, rR + R =0 имеет своими решениями функции

R₀(r) = 1; lnr.

С учетом (89) мы должны составить произведения угловых и радиаль- ных функций и получить набор функций, гармонических в круге

1, R cos, r sin , …, rn cosn, rnsin n, … .

Если предположить, что ряд

(93)

можно дифференцировать почленно дважды по r и  , то его сумма также будет гармонической функцией, т. е. будет решением уравнения (87). Подставляя (93) в (88), найдем

(94)

откуда с учетом формул коэффициентов Фурье следует

(95)

(96) Итог состоит в том, что решение задачи (8788) дается рядом (93), коэффициенты которого определены равенствами (95-96).

Замечание 1. Мы можем говорить, очевидно, что ряд (93) дает общий вид гармонической функции для круга r<a. При его нахождении мы не привлекали радиальных функций r^-n и lnr, поскольку они разрывны в

центре круга r=0.

Напротив, если рассматривать область r>a, то нельзя привлекать r^-n и lnr, и общий вид гармонической функции для внешности круга будет да- ваться рядом

(97)

В случае кругового кольца a<r<b необходимо привлекать все встре- тившиеся выше радиальные функции (9292) и гармоническая функция примет вид

Отметим, что соотношения (93), (9798) позволяют решать также вторую и третью краевые задачи для названных областей.

Замечание 2. В простейших случаях, когда f() есть тригонометричес-

кий полином, т.е. линейная комбинация

коэффициенты A_n и B_n находятся из равенства (94) путем приравнивания коэффициентов возле одноименных функций слева и справа. Решение задачи (8788) будет на этот раз представлено в виде конечной суммы.

Рассмотрим теперь первую краевую задачу для уравнения Лапласа в шаре радиуса а:

Полагая u(r,,) = R(r)Y(,), после подстановки в (99) и разделения переменных получим равенство

(101)

которое распадается на два дифференциальных уравнения с неизвестным параметром . Их нужно решать при условии ограниченности в области изменения переменных 0  r  a, 0    , 0    , и периодичность по переменной  с периодом  так, что Y(Y

Дифференциальное уравнение

(102 )

снова решаем разделением переменных, полагая

Подставляем в (102) и находим

(103)

Для функции  с учетом периодичности получим уже встретившуюся выше при решении задачи Дирихи для круга задачу ШтурмаЛиувилля

откуда согласно формуле (91)

m, _m(=cosm; sinm; m=.

Тогда второе из уравнений (73) примет вид

(104)

и его нужно решать при условиях ограниченности

(105)

В уравнении (104) изменим независимую переменную, полагая тогда и или с

учетом того, что sin²  x², найдем

(104)

Соответственно и граничные условия (105) перейдут после замены в неравенства

(105′)

Задача (104)(105) есть известная задача для присоединенных функций Лежандра, ее решение (см., например,  стр. 115)

и возвращаясь к переменной , найдем собственные значения и собствен- ные функции задачи (104), (105):

(106)

Составив произведения функций (106) на найденные выше функции _m(, получим множество решений уравнения (102)

(107)

Эти решения принято называть сферическими функциями, их основ-ное свойство в приводимой ниже теореме.

Теорема 1. Сферические функции взаимно ортогональны на единич- ной сфере, т.е. при m₁m₂ или n₁n₂

(108)

Теперь возвращаясь к равенству (101), возьмем уравнение для ради- альной функции

Оно имеет решение в виде степенной функции R=r^. Действительно, после подстановки

откуда находим значения n;(n+1) и соответственно решения

(109)

Умножая первые из функций (109) на сферические функции (107), получаем множество частных решений уравнения Лапласа в шаре:

Согласно схеме метода Фурье. составляем ряд с произвольными коэффи- циентами

(110)

который будет гармонической функцией в шаре, если только его можно дифференцировать почленно.

Для нахождения коэффициентов А_nm подставим (110) в (100), тогда

и с учетом (108) найдем

(111)

где

Последний интеграл вычисляется и при m=0 :

(112)

если же m  , то имеем

(113)

Завершая рассмотрение задачи (99),(100), скажем, что мы нашли ее решение в виде ряда (110), коэффициенты которого определяются в согласии с (111),(113).

Замечание 3. Напомним, что нормированные полиномы Лежандра вы- числяяются по формулам

(114)

соответственно

В свою очередь присоединенные функции Лежандра выражаются че- рез производные от полиномов Лежандра, т. е.

(115)

в частности будем иметь

и при любом n

(116)

где С_n определенная константа.

С учетом (107), (115) и (116) выпишем несколько сферических функций:

и при любом n

(117)

Замечание 4. При решении краевых задач для внешности шара вместо соотношения (110) нужно использовать ряд

(118)

Общий вид гармонической функции в шаровом слое a < r < b получа- ется сложением формул (110) и (118).

Замечание5. При некоторых правых частях удается найти частное ре- шение уравнения Пуассона и свести краевую задачу для уравнения Пуас- сона к краевой задаче для уравнения Лапласа, которая решается методом Фурье.

248. Найдите решение краевой задачи в прямоугольнике

Р е ше н и е. Как и в общем случае, полагая u=v(x,y)+w(x,y), где v(x,y) есть решение задачи

Для ее решения берем v(x,y)=X(x)Y(y), тогда

и мы пришли к задаче ШтурмаЛиувилля

Для функции X(x) будем иметь уравнение общее ре-

шение которого может быть записано в виде

Тогда сумма ряда (если его можно дважды дифференцировать почленно)

будет гармонической функцией в прямоугольнике. В силу первого из граничных условий будем иметь

Из второго граничного условия найдем

Подставляя значения найденных коэффициентов в ряд, придем к ра -венству

Функция w(x,y) есть решение задачи Дирихле

Снова по методу Фурье w(x,y) = X(x)Y(y). На этот раз придем к задаче

Для функции Y(y) получится дифференциальное уравнение

Перемножая Y_j(y) и X_j(x) и суммируя по всем j, найдем гармоничес- кую в прямоугольнике и равную нулю на сторонах х=0 и х=а функцию

С учетом граничного условия при y=0 имеем

Из граничного условия w_/y=b=0 вытекает

Таким образом получаем, что

Складывая найденные функции v(x,y) и w(x,y), придем к ответу

249. Найдите решение краевой задачи в прямоугольнике

xy 0  x  a   y  b

По методу Фурье полагаем u(x,y) = X(x)Y(y) и приходим к равенству

Из граничных условий при y=0 и y=b найдем Далее из задачи ШтурмаЛиувилля

Для функции Х(х) имеем дифференциальное уравнение

Если то его общее решение имеет вид

при k=0 общее решение будет линейной функцией Х₀(х)=А₀ х+В₀. Гармо- ническая функция в 

будет, очевидно, удовлетворять условиям Остается выбрать ее коэффициенты так, чтобы выполнялись граничные условия на сторонах x=0 и x=a.

Будем иметь

При четных k=2n коэффициенты A_2n=0, поэтому окончательно реше-ние запишется в виде

250. Найдите стационарное распределение температуры в прямоугольной пластине если стороны х=а и у=b покрыты тепловой изоляцией, стороны х=0 и у=0 поддерживаются при нулевой температуре, и в пластинке выделяется тепло с плотностью Q.

Р е ш е н и е. Текстовая задача равносильна следующей краевой зада- че (k – коэффициент внутренней теплопроводности)

Возьмем частное решение, зависящее только от у

выберем константу С так, чтобы

Полагая теперь , придем к краевой задаче для уравнения Лапласа относительного новой неизвестной функции v(x,y) :

Как обычно, полагаем теперь и приходим к диффе- ренциальным уравнениям

Из граничных условий находим, что

Следовательно, нужно решать задачу ШтурмаЛиувилля:

Для функции Х(х) будем иметь уравнение и его решение может быть записано в виде

Гармоническая в  функция

удовлетворяет условиям и остается выбрать коэффи- циенты A_n и B_n так, чтобы выполнялись два других граничных условия

Подставляя найденные коэффициенты в ряд, найдем

Решение исходной задачи получится окончательно в форме

251. Найдите стационарную температуру u(r,z) внутренних точек ци- линдра если температура нижнего основания и боковой поверхности равна нулю, а температура верхнего основания u(r,h)=f(r).

Р е ш е н и е. Здесь нужно решать уравнение Лапласа в  , и поскольку температура не зависит от  , то Стало быть краевая задача запи- шется в форме

и решать ее нужно методом Фурье, полагая u(r,z)=R(r)Z(z). После разде- ления переменных в дифференциальном уравнении получим

Из граничного условия на боковой поверхности u/_r=a=0 следует, что R(a)=0, поэтому с учетом обращения в нуль коэффициента k(r)=r при r=0 придем к задаче ШтурмаЛиувилля:

Собственные функции этой задачи образуют ортогональную систему с весом r на отрезке 0,а (см. теорему 2 из параграфа 3). Дифференциальное уравнение

после введения новой переменной приводится к уравнению Бес- селя нулевого порядка:

Применяя граничные условия, будем иметь с учетом того, что J₀(0)=1, N₀(0)= и положительные нули функции J₀(x) :

следовательно

Из дифференциального уравнения

вытекает, что

Составляем ряд

Из условия u/_z=0=0 найдем, что

Из граничного условия на верхнем основании (см. (81))

С учетом найденных значений коэффициентов придем к ответу:

252. Найдите стационарную температуру u(r,z) внутренних точек цилин- дра если температура верхнего

основания и боковой поверхности равна нулю, а к нижнему основанию подводится постоянный тепловой поток q.

Р е ш е н и е. Текстовая задача равносильна следующей краевой зада-

че (k– коэффициент теплопроводности) в 

Как и в предыдущей задаче находится гармоническая в  функция, равная нулю на боковой поверхности

здесь вместо линейной комбинации гиперболических синуса и косинуса взята линейная комбинация гиперболического синуса и его сдвига. При- меняя условие u/_z=h=0,

Из граничного условия на нижнем основании будем иметь

С учетом значений коэффициентов А_n и B_n придем к ответу

253. Найдите решение краевой задачи

Р е ш е н и е. Сперва найдем частное решение уравнения Пуассона в виде u₀(r,)=v(r)sin2.

Тогда

Очевидно, решение уравнения Эйлера нужно искать в виде v=cr⁴, и получим

Таким образом, частным решением будет функция

Вводим новую неизвестную функцию w(r,) , полагая

Тогда относительно w(r,) нужно решать задачу Дирихле для урав- нения Лапласа

Согласно (93), решение этой задачи дается формулой

Подставляя ее в граничное условие, получим

Ответом в задаче будет функция

254. Найдите решение первой краевой задачи для уравнения Гельмгольца

предполагая, что k не является собственным значением задачи

Р е ш е н и е. Запишем уравнение в сферических координатах

Беря u(r,R(r)Y( после разделения переменных придем к дифференциальным уравнениям:

Функция будет решением уравнения (72), которое нужно решать при условии ограниченности и 2-периодичности по . В результате при- дем к сферическим функциям при n(n+1):

Относительно радиальной функции R(r) нужно решать дифференци- альное уравнение

Выполняя в этом уравнении замену

придем к соотношению относительно новой функции Z(r):

Последнее уравнение в качестве ограниченных в окрестности нуля

r=0 решений имеет бесселевы функции

соответственно будем иметь набор радиальных функций

Умножая их на сферические функции, получим набор решений урав- нения Гельмгольца:

Составляем ряд с числовыми коэффициентами

(119)

и определяем коэффициенты так, чтобы выполнялась граничное условие при r=a

где  = 4 при m = 0 и  =2 при

При найденных коэффициентах A_nm ряд (119) будет решением рассматриваемой краевой задачи для уравнения Гельмгольца.

255. Найдите такую гармоническую u(r,) функцию внутри шарового слоя 1 < r < 2 , чтобы выполнялись условия

Р е ш е н и е. Согласно (80), (88) и замечанию 4 общий вид гармонической функции в шаровом слое

(120)

Поскольку то можно считать в (120) все коэффициенты равными нулю, кроме Отмечен- ные четыре коэффициента будут решениями уравнений

В итоге получим, что искомая гармоническая функция в шаровом слое имеет вид

256. Найдите решение краевой задачи в прямоугольнике

257. Найдите стационарное распределение температуры внутри тонкой прямоугольной пластинки если к стороне у=0 подводится постоянный тепловой поток q, а остальные три стороны поддерживаются при постоянной температуре u₁.

258. Найдите потенциал электростатического поля u(x,y) внутри прямоу- гольника если вдоль стороны у=0 потенци- ал равен u₁, а три другие стороны заземлены. Электрические заряды внут- ри  отсутствуют.

259. Найдите стационарное распределение температуры u(x,y) в прямоу- гольной пластинке если стороны х=а и у=b покрыты тепловой изоляцией, две другие стороны поддерживаются при нулевой температуре, а в пластинке выделяется тепло с постоянной плот- ностью q.

260. Найдите решение уравнения Лапласа в полуполосе удовлетворяющее краевым условиям u(0,y)=0, u(a,y)=0,u(x,0)=A(ax), u(x,)=0.

261. Найдите решение уравнения Лапласа в полуполосе удовлетворяющее краевым условиям u(0,y)=0,

262. Найдите распределение потенциала электростатического поля u(x,y,z) внутри прямоугольного параллелепипеда 0xa, 0yb, 0zc, если его боковые грани и верхнее основание заземлены, а нижнее основание заряжено до потенциала u₁.

263.Найдите стационарную температуру u(r,z) внутренних точек цилинд- ра радиуса а и высотой h, если температура обоих оснований равна нулю и на боковой поверхности u(r,z)/_r=a=f(z).

264. Найдите стационарное распределение температуры в цилиндре 0ra, 02, 0zh, если нижнее основание имеет температуру u₁, а на остальной поверхности температура равна нулю.

265. Нижнее основание цилиндра 0ra, 02, 0zh, имеет нуле- вую температуру, верхнее теплоизолировано, а температура боковой по- верхности равна 0. Найдите стационарное распределение температуры внутри цилиндра.

Решите следующие краевые задачи

Литература

1. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 15. М.: Физматгиз, 1958-1960.

2. Ильин В.А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1965.

3. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1965.

4. Свешников А. Г., Тихонов А. Н.Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967.

5. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972.

6. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

7. Арсенин В. Я. Математическая физика.- М.: Наука, 1966.

8. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967.

9. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1962.

10. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производны- ми. М.: Физматгиз, 1961.

11. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физии- ки. М.: Наука, 1966.

12. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н . Сборник задач по математической физике. М.:Гостехиздат, 1956.

13. Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1968.

14. Сборник задач по уравнениям математической физике./ Под редакцией В.С.Владимирова. М.: Наука, 1974.

15. Бицадзе А. В., Колиниченко Д. Ф. Сборник задач по уравнениям математической физике. М.: Наука, 1977.

16. Русак В.Н. Математическая физика. Мн.: Дизайн ПРО, 1998.

Содержание

Предисловие..………………………………………………………………....3

§1.Ряды и преобразования Фурье…….……………………………………...4

§2.Операционное исчисление………………………………………………11

§3. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в

частных производных второго порядка……………………………….…..21

§4. Простейший вариант метода разделения переменных………………..27

§5. решение смешанной задачи с неоднородностями в уравнении или в граничных условиях……………………………………………………...…39

§6. Метод разделения переменных для параболических уравнений……49

§7. Цилиндрические функции и решение смешанных задач для уравнений

гиперболического и параболического типов………………………………60

§8. Метод разделения для уравнений эллиптического типа…………..…81

Литература………………………………………………………………….103

Учебное издание

Задачи по математической

и их решения

Авторы=составители:

Русак Валентин Николаевич,

Филиппова Нелли Константиновна.

В авторской редакции

Технический редактор Т. К. Раманович

Корректор О. Н. Кохно

Копьютерная верстка

Ответственный за выпуск Л. В. Рутковская

Подписано в печать 00.00.2006. Формат Бумага офсетная.

Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. Уч.изд. Л. 4,0.

Тираж экз. Зак.

Белорусский государственный университет.

Лицензия на осуществление издательской деятельности

№02330/0056804 от 02.03.2004.

220050, Минск, проспект Независимости, 4.

Отпечатано с оригинала=макета заказчика.

Республиканское унитарное предприятие

«Издательский центр Белорусского государственного университета».

Лицензия на осуществление полиграфической деятельности

№02330/0056850 от 30.04.2004.

220050, Минск, ул. Красноармейская, 6.

105