Р е ш е н и е. Текстовая задача равносильна смешанной задаче

Подставив u(x,t)=X(x)T(t) в дифференциальное уравнение, получим

Из граничных условий найдем

Решаем задачу ШтурмаЛиувилля:

Общее решение

,

из граничных условий следует .

Собственные функции имеют вид .

Из дифференциального уравнения следует, что

Возьмем теперь функциональный ряд

Подставляя его в первое начальное условие, получим

При вычислении интеграла применялось интегрирование по частям, причем вне интегральные слагаемые обращались в нуль на каждом шаге.

Из второго начального условия имеем

Подставляя найденные коэффициенты в функциональный ряд, придем к ответу

145. Труба, открытая с одного конца, движется поступательно в направ- лении своей оси с постоянной скоростью v . В момент t=0 труба мгновен- но останавливается. Определить смещение воздуха внутри трубы на рас- стоянии х от ее закрытого конца.

Р е ш е н и е. Текстовая задача приводится к смешанной задаче

Полагая u(x,t)=X(x)T(t), получим после подстановки в дифферен-циальное уравнение и разделения переменных

Из граничных условий найдем

Присоединяя полученные граничные условия к дифференциальному уравнению для функции Х(х) придем к задаче ШтурмаЛиувилля:

Необходимо найти ее собственные значения и собственные функции. Подставляя общее решение в первое из граничных условий, будем иметь

Считая С₂=l, из второго граничного условия найдём

Дифференциальное уравнение для функции Т(t) будет иметь вид

,

и его общее решение

Cогласно схеме метода Фурье, перемножаем T_k(t) на собственные функции и составляем ряд

Подставив в первое начальное условие, получим

Из второго начального условия найдем

С учетом найденных значений и придем к ответу

146. Найти продольные колебания упругого стержня, один конец ко- торого закреплен жестко, а другой х=0 свободен, при начальных ус- ловиях

Р е ш е н и е. Отклонение точек стержня от положения равнове -сия будет решением смешанной задачи

которую решаем по методу Фурье, полагая u(x,t)=X(x)T(t).

После разделения переменных получим два обыкновенных дифферен- циальных уравнения с параметром :

Из граничных условий найдем

Теперь решаем задачу Штурма-Лиувилля

Из дифференциального уравнения для функции T(t) найдем

и решение смешанной задачи разыскиваем в виде ряда

Подставляя этот ряд в первое начальное условие, будем иметь

Из второго начального условия получим

Подставляя найденные коэффициенты в ряд, придем к ответу

147. Найти продольные колебания упругого стержня со свободными концами х=0 и при начальных условиях

Р е ш е н и е. Отклонение точек стержня u(x,t) от положения равнове -сия будет решением смешанной задачи для однородного уравнения коле -баний струны

которую решаем методом Фурье, полагая u(x,t)=X(x)T(t). После подста- новки в дифференциальное уравнение и разделения переменных найдем опять таки

Из граничных условий на этот раз получим

Теперь находим собственные значения и собственные функции задачи ШтурмаЛиувилля

Решая дифференциальное уравнение для функции T(t), будем иметь

и, следовательно, для смешанной задачи нужно составить ряд

Подставляя его в первое начальное условие, получим

Из второго начального условия найдем

Подставляя значения коэффициентов в ряд, придем к ответу

148.Один конец х=0 стержня свободен, а другой закреплен упруго. Найти продольные колебания стержня при начальных условиях

Решение. Здесь нужно решать смешанную задачу

методом разделения переменных, полагая u(x,t)=X(x)T(t).

После разделения переменных придем к двум обыкновенным диффе- ренциальным уравнениям:

Из граничных условий найдем

Теперь решаем задачу Штурма-Лиувилля:

Обозначим через положительные корни уравнения

Из дифференциального уравнения для функции Т(t) найдем

и решение смешанной задачи разыскиваем теперь в виде ряда

Подставляя этот ряд в первое начальное условие, получим

Из второго начального условия найдем, что , следовательно при- дем к ответу

149. Однородная струна, закрепленная на концевых точках x=0 и х=l, имеет в начальный момент времени форму параболы, симметричной относительно прямой Определить смещение точек струны u=u(x,t) от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости равны нулю.

150. Однородная струна длиной l натянута между точками х=0 и x=l. В точке x=l/2 струна отклонена на небольшое расстояние h от положения равновесия и в момент t=0 отпускается без начальной скорости. Определить отклонение u(x,t) струны при t0.

151. Однородная струна длиной l закреплена на конце x=0, а к другому ее концу прикреплено кольцо, массой которого можно пренебречь. Кольцо может скользить по гладкому стержню, оно отклонено на малое рассто- яние h от положения равновесия и в момент t=0 отпущено. Найти u(x,t) при t0.