Решите следующие смешанные задачи

§ 5.Решение смешанной задачи с неоднородностями в уравнении или в граничных условиях

Будем рассматривать смешанную задачу

и будем искать ее решение в виде суммы двух функций

u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),

которые находятся из решения более простых задач. Функция v(x,t) удовлетворяет неоднородному уравнению с нулевыми граничными и начальными условиями

Соответственно функция w(x,t) есть решение смешанной задачи

Нам нужно решать только штрихованную задачу (43)(45), посколь- ку задача (43)(45) совпадает с уже решенной в § 1 смешанной задачей (31)(33), и следовательно (см.(40) (42))

(46)

Функцию v(x,t) следует разыскивать в виде ряда по собственным функ-

циям задачи (7-8) ШтурмаЛиувилля:

(47)

где v_k(t) нужно определить, используя соотношения(43) и (45). Гранич-ные условия (44) для функции v(x,t), очевидно, выполнены.

В свою очередь функцию f(x,t) разложим в ряд Фурье так, что

Подставляя (47) и (48) в (43) получаем тождество

и, стало быть, при всех t

(49)

После подстановки (17) в (14) найдем начальные условия для функций

(50)

Линейное дифференциальное уравнение (49) с присоединенными к нему начальными условиями (50) образуют стандартную задачу Коши, решение которой существует и единственно при данном k . Более того, нетрудно проверить, что решение задачи (49)(50) дается формулой

и подставляя ее в (48), получим решение штрихованной задачи

(51)

Складывая (46) и (51), найдем решение исходной задачи (43)(45).

Теперь займемся смешанной задачей для неоднородного уравнения с неоднородными граничными условиями

Простой прием позволяет свести данную задачу к уже исследованной задаче (43)(45). Действительно, и на этот раз полагая

u(x,t) = v(x,t) + w(x,t),

где v(x,t) новая неизвестная функция, перейдем к задаче

Мы не уточняем конкретные выражения функций , но ясно, что они находятся через Возьмем теперь функцию w(x,t) такой, чтобы выполнялись соотношения

(55)

нам подойдут в частности

При выполнении условий (55) штрихованная задача (52)(54) переходит в уже решенную задачу (43)(45).

174. Жестко закрепленный в точке х=0 стержень l находится в состоянии покоя. В момент t=0 к его концу x=l приложена сила Q, действующая

вдоль стержня. Найти смещение точек стержня u(x,t) при t>0.

Р е ш е н и е. Текстовая задача равносильна смешанной задаче

где Е – модуль упругости; и  - площадь поперечного сечения стержня.

Здесь нужно сделать замену

тогда неоднородность переместится в начальные условия и функция v(x,t) будет решением простейшей смешанной задачи

Как и при решении задачи 145, найдем, что

и подставляя ряд в первое начальное условие, будем иметь

Из второго начального условия вытекает, что поэтому окончательный ответ

175. Решите задачу о вынужденных продольных колебаниях стержня, закрепленного в конце х=0 и подверженного на другом конце x=l, дейст- вию возмущающей силы, которая вызывает смещение

В момент времени t=0 смещение и скорости отсутствуют.

Р е ш е н и е. Отклонение точек стержня u(x,t) от положения равнове -сия будет решением смешанной задачи

Решение этой задачи нужно искать в виде суммы

,

и относительно новой неизвестной функции v(x,t) будем иметь простей- шую смешанную задачу

Ее решение будет представлено в виде ряда (см. решение задачи 144)

причем из первого начального условия вытекает, что А_k=0, а из второго начального условия следует

Все коэффициенты найдены, и тогда ответ будет иметь вид

176. Решите уравнение вынужденных колебаний

при нулевых начальных и граничных условиях

Р е ш е н и е. Нужно решать смешанную задачу

Решение ищем в виде ряда, удовлетворяющего граничным условиям:

Правую часть уравнения также раскладываем в ряд Фурье

Подставляем эти ряды в исходное дифференциальное уравнение:

Из начальных условий для u(x,t) вытекает

т.е. нужно теперь решить задачи Коши

Если k=2m четное, то решением задачи Коши будет тривиальное решение u_k0. Если же k=2m+1 нечетное, то дифференциальное урав- нение

имеет частное решение в виде полинома

В таком случае общее решение будет иметь вид

Из условия u_k(0)=0 вытекает, что

Из второго условия получим, что D_k=0.

Итак, при нечетных k решением задачи Коши будет функция

и соответственно решение рассматриваемой смешанной задачи примет вид

177. Решите задачу о продольных колебаниях u(x,t) стержня, подвешен -ного в концевой точке х=0, совершаемых под влиянием силы тяжести, ес-ли

Р е ш е н и е: Здесь нужно рассматривать смешанную задачу

Вводим новую неизвестную функцию v(x,t), полагая

u(x,t) = v(x,t) + w(x)

и выбирая w(x) такой, чтобы для функции v(x,t) получить однородное уравнение и однородные граничные условия. Для этого нужно потре- бовать

и далее выбрать константы из условий

В итоге получим, что

и для таким образом подобранной функции w(x) относительно v(x,t)

найдем простейшую смешанную задачу

Ее решение (как и в задаче 174) отыскивается в виде ряда с неопреде- ленными коэффициентами:

причем из условия следует а из первого начального условия имеем

С учетом найденных коэффициентов B_k, A_k , и w(x) ответ будет иметь вид

Решите следующие смешанные задачи.