§ 7. Цилиндрические функции

И решение смешанных задач

Для уравнений гиперболического

И параболического типов

Дифференциальное уравнение 2-го порядка

(65)

принято называть уравнением Бесселя порядка v или уравнением цилин- дрических функций. Здесь есть произвольное действительное или ком-плексное число,

Если , то общее решение уравнения (65) есть линейная комбина- ция

(66)

где и называются соответственно цилиндрическими функ- цииями Бесселя первого и второго рода, для которых имеются представ- ления в виде рядов

Если v=n, n=0,1,2,… , то функция J_n(x) и J_-n(x) линейно зависимы, что можно установить посредством соотношений (67),(68). В этих обстоят- ельствах для представления общего решения употребляются цилиндриче- ские функции Вебера-Неймана:

Функция N_n(x) линейно независима от J_n(x), для нее имеется представ-

ление в виде ряда

из которого видно, что функция Вебера-Неймана не ограничена в окрест- ности точки х=0. Вместо соотношения (66) при v=n общее решение урав- нения (65) берется в виде

(70)

Цилиндрические функции Бесселя с соседними индексами и их произ- водные связаны между собой рекуррентными соотношениями

Отметим важный частный случай второй из формул (71) при v=0

(72)

Третье из соотношений (72) может быть записано в интегральной форме

(73)

Наиболее часто употребляются цилиндрические функции с целыми

индексами J₀(x), J₁(x), …, J_n(x), …, а также положительные нули этих функций. Всякое уравнение J_n(x)=0 имеет счетное множество положи- тельных корней:

или, что то же самое, функция J_n(x) имеет счетное множество положи- тельных нулей. Приведём вычисленные с точностью до четырех десятич- ных знаков значения первых шести нулей функции J₀(x):

Вспомним, что если коэффициент k(х) обращается в нуль при х=0, то появляется так называемый особый случай постановки задачи Штурма Лиувилля (сравните (6162)):

(74)

Уравнение (65) может быть записано в эквивалентной форме:

(75)

и естественно, что оно соответствует особому случаю постановки крае-вых задач, когда k(x)=x, k(0)=0.

Простейшая краевая задача для уравнения Бесселя возникает при изу- чении собственных колебаний круглой мембраны:

Здесь k(r)=r и весовая функция p(r)=r. Чтобы ее решить, полагаем x=λr, где x новая независимая переменная. Тогда

и уравнение (76) приводится к уравнению Бесселя

Общее решение этого уравнения представим формулой (70), а после возвращения к переменной r получим общее решение уравнения (76) в виде

(78)

Из (77) и (79) ясно, что J_n(0)=0, N_n(0)=∞, поэтому выполнимость первого из граничных условий (77)

означает, что С₂=0. Тогда полагаем С₁=1, и со второго граничного усло- вия находим собственные значения

Соответственно из (78) найдем собственные функции

(79)

Найденные собственные функции образуют ортогональную систему с весом r на отрезке [0,l], т.е. выполнено условие ортогональности

и можно рассматривать ряды Фурье по системе (79):

Квадрат нормы собственной функции вычисляется точно и имеет значение

(80)

Отметим также частный случай (см. (42))

(81)

Довольно часто встречается и вторая краевая задача для уравнения Бесселя

И на этот раз общее решение уравнения (82) может быть записано в ви-

де (78), снова получим С₂=0 и С₁=1, а собственные значения будут определяться из условия

где через обозначены положительные нули производной Собственные функции задачи (8283) будут записаны в виде

они образуют ортогональную систему с весом r на [0, l], а квадрат нормы

229. Решите задачу о свободных колебаниях однородной круглой мемб- раны радиуса l, закрепленной по краю, если начальная скорость равна ну- лю, а начальное отклонение

Р е ш е н и е. Здесь нужно решать смешанную задачу

по методу Фурье, полагая

После подстановки в дифференциальное уравнение и разделения переменных придем к равенству

Из условия найдем R(l)=0, а второе условие как в особом случае поэтому придем к задаче ШтурмаЛиувилля:

Вводя новую переменную будем иметь

и его общее решение (см.(35))

Возвращаясь к переменной r, получим общий вид радиальной функции:

Из условия найдем

тогда полагаем откуда

Для временной функции T(t) имеем дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

и его решение есть линейная комбинация

Умножая ее на собственную функцию и суммируя по всем k , получим ряд

Из второго начального условия получим

Первое начальное условие приводит к равенству

откуда с учетом (81) найдем (см.также (73))

Подставляя найденные коэффициенты в ряд, придем к ответу

гдеположительные корни уравнения J₀(x)=0.

230 Решите задачу о свободных колебаниях круглой мембраны радиуса l, закрепленной по краю и колеблющейся в среде, сопротивление которой пропорционально скорости, если

Р е ш е н и е. Здесь нужно решать смешанную задачу

методом Фурье, полагая u(r,t)=R(r)T(t). Тогда после разделения перемен-

ных в дифференциальном уравнении

С учетом граничных условий придем к задаче ШтурмаЛиувилля для

радиальной функции

и ее собственные значения и собственные функции, как и в предыдущей задаче, соответственно равны

Дифференциальное уравнение для временной функции при малом h

имеет решение

Составляем ряд

и подставляя его в начальное условие придем к равенству

Из второго граничного условия вытекает, что

В итоге придем к ответу

231. Уравнение малых продольных колебаний нити, подвешенной в кон- цевой точке x=l и колеблющейся под действием силы тяжести, имеет вид

Найдите u(x,t) при t>0 если

Р е ш е н и е. Здесь возникает смешанная задача

Полагая u(x,t)=X(x)T(t) придем к соотношению

С учетом граничных условий, придем к задаче ШтурмаЛиувилля

ее собственные функции ортогональны с единичным весом на [0, l]. Вве- дя новую переменную , найдем

соответственно преобразуется и задача ШтурмаЛиувилля

а ее собственные значения и собственные функции соответственно бу- дут

Дифференциальное уравнение для временной функции

имеет решение

поэтому составляем ряд

Подставляя его в первое начальное условие, найдем

причем для интеграла, стоящего в знаменателе, верно равенство

следовательно, окончательно имеем

Из второго начального условия вытекает, что B_k=0, поэтому в ответе получим

232.Круглая однородная мембрана радиуса l закреплена по краю, нахо- дится в состоянии равновесия при натяжении Т₀. Найдите отклонение мембраны u(r,t) от положения равновесия, если к ней прилагается равно- мерно распределенная нагрузка

Р е ш е н и е. Текстовая задача равносильна смешанной задаче

Найдем решение имеющегося дифференциального уравнения в виде

Относительно v( r ) будем иметь обыкновенное дифференциальное урав- нение

частным решением которого будет, что нетрудно проверить, функция

и это частное решение удовлетворяет граничным условиям