Р е ш е н и е. Здесь нужно решать смешанную задачу

методом разделения переменных, полагая u(x,t)=X(x) T(t).

Тогда и из граничных условий найдем

Собственные значения и собственные функции определяются из задачи

поэтому на этот раз смешанная задача решается рядом с неопределенны-

ми коэффициентами:

Подставляя этот ряд в начальное условие, будем иметь

и следовательно окончательный ответ будет иметь вид

194. Дан однородный шар радиуса b, центр которого расположен в начале координат. Внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой температуре, а начальная температураОпреде-

лите температуру u(r,t) внутри шара при t>0.

Р е ш е н и е. Поставленная задача равносильна смешанной задаче

Следуя схеме метода Фурье, полагаем u(r,t)=R(r)T(t) и после подстанов-ки в уравнение получим

Из граничных условий будем иметь

Следовательно, нужно решать задачу ШтурмаЛиувилля

При решении уравнения найдем

и тогда пишем ряд с неопределенными коэффициентами

В силу начального условия будем иметь

и стало быть ответ в задаче имеет вид

195. Найдите распределение температуры в однородном шаре радиуса b, внутри которого при t0 действует источник тепла с постоянной плот- ностью q, а его поверхность поддерживается при нулевой температуре. Начальная температура во внутренних точках шара равна нулю.

Р е ш е н и е. Здесь нужно иметь дело со смешанной задачей:

Функция есть решение дифференциального урав- нения, удовлетворяющее граничным условиям, поэтому после замены

относительно новой функции v(r,t) придем к смешанной задаче

которая несущественно отличается от задачи 194. В итоге окончательно получим ответ:

196. Найдите решение смешанной задачи

Р е ш е н и е. Непосредственно проверяется, что функция w=t(x+1) удовлетворяет уравнению и граничным условиям

поэтому после замены u(x,t)=v(x,t) + t(x+1) относительно новой функции v(x,t) получим смешанную задачу

решение которой находится в виде ряда по собственным функциям зада- чи ШтурмаЛиувилля:

Подставляя ряд в уравнение, будем иметь

К полученным дифференциальным уравнениям для функций

нужно присоединить условие .Получим семейство задач Коши:

откуда находим Для четных k=2m все будут равными нулю, и, следовательно, придем к отве- ту:

где

197. Сфера радиуса b содержит растворенное вещество с начальной концентрацией u₀ . Концентрация на поверхности сферы поддерживается постоянной, равной u₁>u₀. Найдите количество абсорбированного вещества в момент времени t>0.

198. Решите задачу об остывании однородного стержня длиной l с тепло- изолированной боковой поверхностью, если его начальная температура u(x,0)=l-x, концевая точка x=0 теплоизолирована, а x=l поддерживается при постоянной температуре.

199. Дан тонкий однородный стержень длиной l, начальная температура которого равна нулю. На конце x=l поддерживается нулевая темпера- тура, а на конце x=0 температура растет линейно со временем, так что u(0,t)=At, где A – константа. Найдите распределение температуры u(x,t) при t>0.

Решите следующие смешанные задачи

201.

202.

203.

204.

205.

206.

224.

225.