3.2. Уравнение движения основного звена автоматики авиационного артиллерийского оружия

Рассмотрим методику составления уравнение движения механизмов оружия на примере простейшего двухзвенного механизма, изображенного на рисунке 3.1. По такой схеме выполняются, например, подающие и запирающие механизмы в ряде пушек.

Горизонтально скользящий ползун примем в качестве основного звена и соответственно присвоим ему номер ноль. Поперечно перемещающийся движок обозначим номером один. Для определенности пусть основное звено будет ведущим звеном механизма. Это означает, что при движении механизма энергия передается от ползуна к движку. При движении ползуна вправо шип движка прижат к нижней стенке фигурного паза и, следовательно, поверхностью трения между звеньями является участок, показанный на рисунке 3.1 жирной линией. Поверхности трения звеньев о направляющие (нижняя для ползуна, правая для движка) также показаны жирными линиями. Возможные перекосы звеньев в направляющих при инженерных расчетах обычно не учитывают.

М асса основного звена – m; масса звена 1– m₁. На основное звено действует внешняя сила F по направлению его движения, на звено 1 – внешняя сила F₁ по направлению движения этого звена.

С о стороны движка на ползун будут действовать направленная по нормали к точке соприкосновения звеньев реакция R₁₀ и вызываемая ею сила трения fR₁₀, направленная по касательной (f – коэффициент трения). Соответственно к движку со стороны ползуна будет приложена реакция R₀₁ и сила трения fR₀₁. Кроме того, к ползуну и к движку соответственно будут приложены реакции направляющих R, R₁ и вызываемые ими силы трения fR, fR₁. Направление сил изображено на рисунке 3.2.

Напишем дифференциальное уравнение движения для каждого из рассматриваемых звеньев, считая, что оси координат x и x₁ направлены в сторону движения соответствующих звеньев:

, (3.6)

. (3.7)

Реакции корпуса R и R₁ найдем из уравнений статики, спроектировав для каждого из звеньев все силы на ось, перпендикулярную к направлению движения, и приравняв сумму проекций нулю

, (3.8)

. (3.9)

Подставляя (3.8) и (3.9) в уравнения (3.6) и (3.7), получим

Введем обозначения:

, (3.10)

(3.11)

и запишем уравнение движения в виде

, (3.12)

. (3.13)

По физическому смыслу силы Q и Q₁ являются внутренними силами, действующими на основное звено со стороны первого и на первое – со стороны основного соответственно.

Для связи внутренних сил Q и Q₁ между собой в теории автоматического оружия вводится понятие – коэффициента передачи энергии (к.п.э.). Коэффициентом передачи энергии от основного звена к первому называют отношение элементарной работы Q₁ dx₁ к элементарной работе Qdx.

. (3.14)

В случае, когда основное звено является ведущим, произведение Q₁dx₁ представляет собой энергию, получаемую первым звеном от ведущего на элементарном перемещении dx₁, а Qdx – энергию, потерянную ведущим звеном за счет сопротивления ведомого звена на элементарном перемещении dx. Тогда за счет потерь на трение при передаче энергии Q₁ dx₁<Qdx и, следовательно, .

Если ведущим звеном станет первое, формула (3.14), определяющая к.п.э., не изменится. Он по-прежнему останется равным отношению энергии, отданной первым звеном, к энергии, полученной основным звеном. Однако, поскольку в этом случае Q₁ dx₁>Qdx, то числовое значение к.п.э. изменится за счет изменения направления сил трения. То есть, когда основное звено становится ведомым, к.п.э. будет больше единицы.

Понятие – коэффициента передачи энергии – является более широким, чем понятие – коэффициента полезного действия (к.п.д.), применяемое в теории механизмов и машин. Понятия к.п.э. и к.п.д. совпадают в частном случае, когда основное звено является ведущим. Методика определения к.п.э. будет рассмотрена позднее после получения дифференциального уравнения.

Поскольку отношение элементарных перемещений звеньев есть передаточное число, выражение (3.14) можно переписать в виде

. (3.15)

Используя выражение (3.15), связывающее между собой внутренние силы Q и Q₁, для исключения этих сил из уравнений движения (3.12) и (3.13). Заменяя силу Q в уравнении (3.12) ее выражением через Q₁ из (3.15), запишем

.

Подставляя сюда Q₁ из уравнения (3.13), получим

. (3.16)

С учетом кинематической зависимости , вытекающей из формулы (3.5), уравнение (3.16) примет вид

. (3.17)

Выражение (3.17) является искомым дифференциальным уравнением движения простейшего двухзвенного механизма.

Из уравнения следует, что влияние первого звена на движение основного звена проявляется следующим образом:

1. Масса основного звена увеличивается на величину , называемую приведенной массой первого звена;

2. Увеличивается внешняя сила, действующая на основное звено, на величину , называемую приведенной силой первого звена;

3. Появляется дополнительная инерционная сила , возникающая из-за переменности передаточного числа.

Полученное уравнение справедливо для любого двухзвенного механизма независимо от того, какое из звеньев является ведущим. В общем случае роль ведущего звена может в процессе движения перейти от одного звена к другому. При этом изменится величина входящего в уравнение к.п.э., но вид уравнения сохранится.

К

10. Изд. №9872

оэффициент передачи энергии характеризует способность механизма передавать энергию от одного звена к другому. Он зависит от конструкции механизма, от того, какое звено является ведущим, от положения механизма, т.е. от перемещения основного звена, а также от коэффициента трения между звеньями и звеньев о направляющие. Величина к.п.э. изменяется при изменении поверхностей трения в механизме. В тоже время к.п.э. не зависит от величины внешних сил, действующих на звенья, если не изменяются поверхности трения и роль ведущего не переходит от одного звена к другому. Это объясняется тем, что внутренние силы (реакции звеньев) линейно зависят от внешних сил. В этом случае работа внутренних сил будет изменяться линейно в зависимости от внешних сил, а отношение работ внутренних сил, выражаемое зависимостью (3.14), остается постоянным.

Найдем к.п.э. для рассматриваемого механизма. Для чего подставим в (3.15) выражения (3.10) и (3.11), определяющие силы Q и Q₁, и учтем при этом, что силы R₁₀ и R₀₁ по модулю равны.

Получим

. (3.18)

Из рисунка 3.1 непосредственно следует, что передаточное число . Подставляя это выражение в (3.18) и выполнив тригонометрические преобразования, получим

. (3.19)

В теории механизмов и машин часто оперируют понятием угол трения , величина которого определяется соотношением .

Для рассматриваемого механизма выражение через угол запишется в виде

,

в чем можно убедиться, если выполнить несложные тригонометрические преобразования в формуле (3.19).

Отношением Q₁/Q можно воспользоваться для нахождения передаточного числа. При отсутствии трения к.п.э. обращается в единицу и, следовательно, на основании (3.15) можно написать

.

Отсюда передаточное число .

В данной задаче соответственно получим .

Аналогичным образом можно получить выражение и для любого другого механизма. Как видно из рассмотренного примера, для этого необходимо найти отношение внутренних сил Q₁ и Q, действующих на звенья механизма. Это можно сделать с помощью уравнений статики, описывающих состояние равновесия при известных поверхностях трения.

Суть методики получения и заключается в следующем:

1. Приложим к основному звену механизма с заданными поверхностями трения силу (или момент) P в направлении его движения, а к первому звену в направлении, обратном его движению, - силу (или момент) P₁, уравновешивающую механизм. Из условия равновесия механизма следует, что внешняя сила P уравновешивается внутренней силой Q, а внутренняя сила Q₁ уравновешивается внешней силой P₁. Следовательно,

. (3.20)

. (3.21)

2. Составим уравнения равновесия каждого звена, заменив связи их реакциями.

3. Исключим из полученных уравнений статического равновесия реакции и, пользуясь соотношением (3.15), с учетом равенств (3.20) и (3.21), получим выражение для

. (3.22)

4. Положив в этом выражении f=0 и , найдем

.

5. Подставляя полученное значение в (3.22), найдем окончательно выражение для .

Указанные операции могут быть выполнены не только аналитически, но и графически. В книге [11] приведены формулы, определяющие i и для ряда типовых механизмов автоматического оружия.

Методика получения дифференциального уравнения движения многозвенного механизма аналогична методике получения этого уравнения для двухзвенного механизма. Не приводя всех выкладок, по аналогии с (3.17), можно написать уравнение движения произвольного механизма, содержащего основное звено и n присоединенных к нему звеньев

10*

. (3.23)

В этом уравнении коэффициенты при называют приведенной массой всего механизма, а сумму сил, стоящих в правой части, – приведенной силой механизма.

Заметим, что и являются обобщенными массами и обобщенными силами, т.е. этими символами обозначают массы или моменты инерции и соответственно силы или моменты сил. Умножение этих величин на соответствующие множители, содержащие передаточное число, которое для звеньев с различными видами перемещений (поступательное или вращательное) имеет размерность, обеспечивает приведение их к размерности этих величин для основного звена.

В сложных многозвенных механизмах непосредственное определение передаточных чисел и к.п.э. от -того звена к основному в ряде случаев представляет значительные трудности. Этого можно избежать, если воспользоваться соотношениями между этими величинами для звеньев, расположенных в определенной последовательности, через передаточные числа и к.п.э. между промежуточными звеньями. Так, например, передаточное число и к.п.э. от основного звена к -тому звену в механизме, состоящем из основного звена и трех последовательно присоединенных к нему звеньев q,p и , можно представить в виде произведений .

Уравнение (3.23) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. Коэффициенты уравнения являются функциями перемещения основного звена, а стоящие в правой части силы в общем случае могут зависеть от времени (сила давления пороховых газов), перемещения основного звена (усилия пружин) и скорости основного звена (сила сопротивления патронной ленты).

Уравнение в общем случае может быть проинтегрировано только численным методом. Лишь в частных случаях возможно аналитическое решение уравнения. Например, в случае, когда к.п.э. и передаточные числа постоянны, а на детали оружия действуют только усилия пружин. Интегрирование уравнения движения усложняется тем, что по мере движения основного звена происходит подключение к нему одних звеньев и отключение других. Подключение звеньев происходит с ударом и вызывает разрывное изменение скорости основного звена. Отключение вызывает разрывное изменение коэффициентов уравнения. Вследствие этого интегрирование приходится вести по участкам. Границами участков будут точки разрывов скорости или коэффициентов.

В процессе интегрирования необходимо следить за изменением динамических реакций между звеньями. Перемена знака реакции при удерживающих связях влечет за собой изменение поверхности трения и необходимость нового определения к.п.э. Более подробно методика, интегрирования дифференциального уравнения движения механизмов оружия и способы, учета влияния перемещения корпуса оружия на движение механизмов рассматриваются в специальной литературе [8], [11].