Вопрос 38. Точки разрыва первого и второго рода. Примеры.
Если f:(a,b)R не является непрерывной в некоторой точке x0(a,b) и имеются конечные пределы справа и слева f(x0+0)=limxx0+0f(x), f(x0-0)=limxx0-0f(x), то эта точка называется точкой разрыва первого рода.
Если f:(a,b)R не является непрерывной в некоторой точке x0(a,b) и имеется конечный предел либо справа f(x0+0)=limxx0+0f(x), либо слева f(x0-0)=limxx0-0f(x) или оба отсутствуют, то такая точка называется точкой разрыва второго рода.
П
ример.
Пример 1. Функция
имеет устранимый разрыв первого рода
в точке
.
Пример
2. Функция
имеет разрыв второго рода в точке
Вопрос 39. Локальные свойства функций, непрерывных в точке (теорема о локальной ограниченности, теорема о сохранении знака, теорема о непрерывности суммы, произведения, частного, теорема о непрерывности композиции двух непрерывных функций).
Теорема 1. f:(a,b)R функция непрерывна в точке x0(a,b), тогда справедливы следующие утверждения:
f ограничена в некоторой окрестности U(x0) точки х0.
Если f(x0)0, то в некоторой окрестности U(x0) точки х0 все значения функции положительные или отрицательные т.е. sign f(x)=sign f(x0).
Доказательство
случая 2.
Непрерывность в точке х0,
в частности обозначает, что f
определена
некоторой окрестности точки
х0.
Пусть
для определенности,
f(x0)=d>0.
Возьмем
=
>0. Тогда
по определению непрерывности >0:
|f(x)-f(x0)|<=
,
x:|x-x0|<,
откуда
следует, что
f(x)=f(x0)+(f(x)-f(x0))>d-
=
,
при
xU(x0).
Теорема
2. Если
функции
f
и
g
непрерывны
в точке
х0,
то
функции
сf,
f+g,
fg,
а
также при условии
g(x0)0,
непрерывны
в точке х0.
Докажем
лишь что f/g
непрерывна
в х0
(для остальных аналогично). g(x)0
при xU(x0)
и
частное
f/g
определено
на
U(x0).
Используя свойства пределов и непрерывность
f
и
g:
limxx0(f/g)(x)=
limxx0f(x)/g(x)=
limxx0f(x)/
limxx0g(x)=f(x0)/g(x0)=(f/g)(x0).
Теорема 3. Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке х0, а функция F(y) непрерывна в точке y0=f(x0), тогда композиция (Ff)(x):=F(f(x)) непрерывна в точке х0.
Это утверждение является следствием теоремы по пределу сложных функций, в силу которой limxx0F(f(x))=limyy0F(y)=F(y0)=F(f(x0)), что равносильно суперпозиции в точке х0.
Вопрос 40. Теорема Больцано-Вейерштрасса о промежуточном значении непрерывной функции.
Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Если f непрерывная на отрезке [a,b] (fc[a,b]), f(a)=A, f(b)=B, то для С заключенного между А и В, существует такая точка ξ[a,b], что f(ξ)=С.
Доказательство. Пусть для определенности f(a)=A<B=f(b) и A<С<B. Разделим отрезок [a,b] точкой х0 пополам, тогда либо f(x0)=C, значит искомая точка ξ=х0, либо f(x0)C, тогда на концах одного из полученных отрезков f принимает значения лежащие по разные стороны от числа С. Обозначим этот отрезок через [a1b1] и разделим на пополам и т.д. В результате либо через конечное число шагов придем к искомой точке ξ (т.е. f(ξ)=С), либо получим последовательность вложенных отрезков [an,bn], bn-an0 при n, и таких что f(an)<C<f(bn) (1).
Пусть ξ – общая точка всех этих отрезков, мы знаем что ξ=limnan=limnbn, поэтому в силу непрерывности функции f(ξ): =limnf(an)= limnf(bn) переходя в неравенстве (1) к пределу при n, получим f(ξ)=C.