Вопрос 33. Теорема о сложной функции.

Теорема. Пусть  конечный или бесконечный limxaf(x)=b, limybF(y) и пусть при этом в некоторой Ů(a) точки а, f(x)0, тогда в некоторой Ů(a,0) определена сложная функция F(f(x)) и  limxaF(f(x))=limybF(y).

Доказательство. Пусть функция F(y) определена в некоторой Ů(b,0), поскольку limxaf(x)=b, то при некоторой 0>0 имеем f(Ů(a,0))Ů(b,0) и Ů(a,0) Ů(a).

Таким образом в окрестности Ů(a,0) определена функция F(f(x)).

Пусть теперь последовательность xn Ů(a,0), xna. Положим yn=f(xn), очевидно ynŮ(b,0) при этом согласно определению предела функции по Гейне, limnyn=b, из существования пределов limybF(y)=:A следует что limnF(yn)= limnF(f(xn))=A, а это и означает что limF(f(x))=A.

Вопрос 34. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и связь между ними.

Функция (x) называется бесконечно малой (при xa) если limxa(x)=0.

Функция (x) называется бесконечно большой (при xa) если limxa(x)=.

Теорема 2. Функция (x) неравная нулю в некоторой проколотой окрестности Ů(a) является бесконечно малой (при xa) тогда и только тогда когда 1/(x) является бесконечно большой (при xa).

Вопрос 35. Теорема о существовании односторонних пределов у монотонной функции.

Теорема. Пусть f возрастает на конечном или бесконечном интервале (a,b), тогда в точке x=b, limxb-0f(x)=sup(a,b)f(x), а в точке x=a, limxa+0f(x)=inf(a,b)f(x).

Следствие. Если функция монотонна на (a,b) тогда x0(a,b) то в точке x0 существуют конечные, односторонние пределы: f(x0-0), f(x0+0).

Доказательство. Пусть β:=sup_(a,b)f(x) , зададим произвольную окрестность U(β) точки β и пусть β'-левый ее конец, β'<β. Тогда существует такая точка ξ(a,b), что f(ξ)>β'. Положим (b):=(ξ,b), тогда для x (b) в силу возрастания функции, β'<f(ξ)≤f(x)≤β т.е. f(x)U(β).

Итак для U(β) существует такая проколотая левосторонняя (а,b), что для x (а,b) имеем f(x) (b) это и означает что lim_xb-0f(x)=sup_(a,b)f(x).

Аналогично для lim_xа+0f(x)=inf_(a,b)f(x).

В опрос 36. Предел lim_{x0 .}

lim_x0 =1.

Доказательство. Рассмотрим односторонние пределы lim_x0+ и lim_x0- и докажем, что они равны 1.

П усть x(0; ). Отложим этот угол на единичной окружности (R=1). Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что: S_OKA<S_sectOKA<S_OAL (1).

(из OAL: | LA | = tgx); Подставляя в (1), получим:

или sin(x)<x<tg(x). Разделив все части неравенства на sin x > 0, получим при условии х > 0:

или . Так как функция у = cos x непрерывна, то . Пользуясь теоремой о пределе промежуточной функции(о двух милиционерах), получим .

В опрос 37. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность функции в точке. Примеры.

Функция определенная в некоторой окрестности точки а, называется непрерывной в этой точке если lim_xaf(x)=f(a).

Пусть функция определена на полуинтервале (a,x₀] ([x₀,a)), функция называется непрерывной слева (справа) в точке х₀ если lim_xx-0f(x)=f(x₀) (lim_xx+0f(x)=f(x₀)).

Пример. f(x)=[x] – наибольшее целое число, меньшее или равное х.

f(x)=[x] непрерывна справа во всех точках х.