Вопрос 22. Предел частного lim(xn/yn).

Если последовательность {x_n} и {y_n} сходятся, y_n0 для nN и lim_ny_n0, то {x_n/y_n} сходится, причем lim_nx_n/y_n= lim_nx_n/lim_ny_n.

Доказательство: пусть lim x_n=a, lim y_n=b, тогда x_n=a+_n, y_n=b+β_n, _n и β_n – б.м.

lim|y_n|=|b|, 0< <|b|, согласно лемме 1, существует n₀, для любого n>n₀, |y_n|> , (1).

- = - = (2).

Здесь последовательность ограничена: = < (см. 1)

Поэтому последовательность является бесконечно малой как произведение ограниченной на бесконечно малую, отсюда из (2) следует требуемое.

Вопрос 23. Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях.

Теорема Вейерштрасса: Всякая возрастающая числовая последовательность {x_n} имеет предел: конечный если она ограниченна сверху или бесконечный если она не ограниченна сверху, причем lim_n{x_n}=sup{x_n}(1), аналогично если x_n убывающая последовательность то существует (конечный или бесконечный) предел lim_nx_n=inf(x_n).

Доказательство: Пусть x_n ограничено сверху, β=sup{x_n}, β . Возьмем произвольную окрестность U(β) в точке β и обозначим через β' ее левый конец.

Согласно определению верхней грани: 1) nN, x_n≤β'; 2) n₀N, x_n0>β'

Очевидно отсюда в силу возрастания последовательности {x_n} следует, что для любого n>n₀, β'<x_n0≤x_n≤β, так что при n>n₀ имеем x_nU(β), а это и означает что β является пределом последовательности {x_n}.

Аналогично рассматривается случай ограниченности {x_n} снизу.

Вопрос 24. Число е. (е=2,718281828…).

Теорема: Последовательность {x_n}=(1+ )ⁿ, n=1,2… строго возрастающая и имеет конечный предел.

Доказательство: Применив формулу бинома Ньютона , получим:

x_n=(1+ )ⁿ=1+n +

е:=lim_n(1+ )ⁿ

поскольку 2<x_n<3, x_n возрастает, то 2<e≤3

Вопрос 25. Принцип компактности числовой прямой (теорема Больцано-Вейерштрасса). Случай неограниченных последовательностей.

Теорема (Больцано-Вейерштрасса): Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть последавательность лежит на [a,b] {x_n}.

Разделим отрезок [a,b] пополам, обозначим [a₁,b₁] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {x_n}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a₁,b₁], его индекс обозначим n_1. Разделим отрезок [a₁,b₁] пополам, обозначим через [a₂,b₂] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {x_n}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a₂,b₂] и имеющий индекс больший, чем n₁, его индекс обозначим n_2. Продолжая этот процесс, мы построим подпоследовательность . Система отрезков [a_k,b_k] представляет собой систему вложенных, стягивающихся к нулю отрезков (b_k-a_k=(b-a)/2^k). Общую точку обозначим c. Так как c[a_k,b_k], то . Откуда следует, что .

Пусть теперь последовательность {x_n} неограниченна сверху тогда  такой номер n₁, что x_n1>1, то последовательность x_n1+2 также неограниченна, то найдется номер n₂>n₁, что x_n2>2, продолжая этот процесс получим, что n₁<n₂<n₃<…<n_k, x_nk>x, k=1,2… из последовательности вытекает lim{x_nk}=+.