Вопрос 41. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке, и о достижении ею своих точных верхних и нижних граней.

Теорема (Вейерштрасса) о максимальном значении. Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей точной верхней и нижней грани.

Доказательство. Пусть M=sup_x[a,b]f(x), M , по свойству точной верхней грани, для nN найдется x=x_n[a,b], f(x_n)U(M, ) (1). Из последовательности {x_n} по теореме Больцана-Вейерштрасса можно извлечь сходящуюся подпоследовательность {x_nk}, x_nkx₀ при k, lim_kf(x_nk)=f(x₀) (2) в тоже время в силу (1) для kN имеем y_k:=f(x_nk)U(M,_k), где _k= 0, это означает что lim_ky_k lim_kf(x_nk)=M отсюда и из (2) получаем M=f(x₀), что и требовалось доказать. Аналогично для f ограниченной снизу и достигающей своей точной нижней грани.

Вопрос 42. Теорема о мощности множества точек разрыва монотонной функции.

Теорема. Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счетно (т.е. либо конечно, либо счетно).

Доказательство. Каждой точкой разрыва функции свяжем интервалы не содержащие значения функций, эти интервалы не пересекаются, но на прямой может быть не более чем счетное множество непересекающихся интервалов. Действительно в каждом из них можно выбрать по рациональной точке, и тогда множество интервалов окажется  подмножеству счетного множества рациональных чисел. Значит оно само не более чем счетно. Вместе с ним не более чем счетно и множество точек разрыва монотонной функции.

Вопрос 43. Критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема. Функция f:[a,b]R , монотонная на [a,b], непрерывная на нем тогда и только тогда когда множество f([a,b]) ее значений само является отрезком с концами f(a) и f(b).

Доказательство. Пусть f – непрерывная, монотонная функция, ввиду монотонности все ее значения f(x), x[a,b], лежат между f(a) и f(b). Ввиду непрерывности f обязана принимать также и все промежутки между f(a) и f(b) значения. Таким образом f([a,b]) есть отрезок с концами f(a) и f(b).

Обратное. Пусть f монотонна на [a,b], если f разрывна в некоторой точке x₀, то по сл.1  интервал не содержащий значений функции f, но содержащийся в силу монотонности в отрезке с концами f(a) и f(b), возникло противоречие, с тем что по условию f([a,b]) это отрезок с концами f(a) и f(b).

Вопрос 44. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции для строго монотонной непрерывной функции. Примеры.

Теорема. Пусть f:XR строго монотонная и непрерывная на X=[a,b] тогда обратная функция f^-1 определена, строго монотонная и непрерывная на отрезке с концами в точках f(a) и f(b) ([f(a),f(b)]).

Доказательство. Существование обратной функции следует из строгой монотонности. Кроме того, обратная функция также будет монотонной с областью значений [a,b]. Из критерия непрерывности монотонной функции следует ее непрерывность ( монот. функция будет непрерывна на [a,b] тогда и только тогда когда множество f([a,b]) ее значений само является отрезком с концами f(a) и f(b)).

f(a)

f(b)

a

b