Вопрос 29. Определение предела функции по Коши. Односторонние пределы функции в точке.

Определение предела функции по Коши – точка А называется пределом функции f точки а, если для любой окрестности U(A,) точки А существует такая проколотая окрестность (a,) точки а, что f( (a,))f(U(A,)), при этом пишут lim_x__af(x)=A.

Пусть f(x) определена в правой (левой) полуокрестности точки aR, точка А называется пределом справа (слева), если >0 ()>0, что для всех xU(a+0,):={x: a<x<a+}

(xU(a-0,):={x: a-<x<a}) при этом пишут A=lim_x__a₊₀f(x)=f(a+0) – правосторонний предел, A=lim_x__a_-0f(x)=f(a-0) – левосторонний предел.

Вопрос 30. Определение предела функции по Гейне. Эквивалентность двух определений функции.

Определение предела функции по Гейне – пусть f(x) определена в проколотой окрестности (a) точки а, точка А называется пределом функции в точке а, если для  последовательности {x_n} (a) n=1,2… такой, что lim_n_x_na, имеет место lim_n_f(x_n)=A или lim_x__af(x)=A.

Теорема. Определения пределов функции по Коши и по Гейне равносильны.

Доказательство. Пусть lim_x__af(x)=A по Коши, пусть {x_n} последовательность типа Гейне при xa, тогда для любой окрестности U(A) в точке А, найдется проколотая окрестность (a) в точке а такая, что x (a) имеем f(x)U(A), если lim_n_(x_n)=a, то найдется номер N, n>N, x_n (a), f(x_n)U(A). На основании определения предела последовательности заключаем, что lim_n_f(x_n)=A.

Обратное. Пусть предел lim_x__af(x)=A (по Гейне), если А не является пределом f(x) при xa в смысле определения от х, то найдется U(A) такая что при nN проколотом 1/n окрестности точки А найдется x_n такая что f(x_n)U(A), но это означает что А не является пределом последовательности f(x_n) хотя предел lim_n_f(x_n)a.

Вопрос 31. Критерий коши существования предела функции.

Теорема (Коши). Для того чтобы f имела в точке а конечный предел необходимо и достаточно чтобы для >0 существовала  (a)= (a,) точки а, чтоб для любых x′,x″ (a) выполнялось бы неравенство |f(x′)-f(x″)|< (1).

Доказательство.

Необходимо. Пусть предел lim_x__af(x)=AR, тогда для >0 существует  (a) такая, что для x (a) выполняется неравенство |f(x)-A|< , так что для x′,x″ (a) выполняется

|f(x′)-f(x″)|≤|f(x′)-A|+|f(x″)+A|< = .

Достаточно. Пусть >0 и (a) такая окрестность, что для x′,x″ (a) выполняется неравенство (1). Возьмем, какую либо последовательность {x_n}, x_na, lim_n_x_n=a, в силу определения предела последовательности n₀, что для n>n₀, x_n (a) от суда и следует, что |f(x′)-f(x″)|<.

Это означает, что последовательность {f(x_n)} удовлетворяет критерию сходимости Коши для последовательностей и следовательно имеет конечный предел, от сюда и из определения предела по Гейне следует что f имеет в точке а конечный предел.

Вопрос 32. Свойства пределов функций (локальная ограниченность, сохранение знака, переход к пределу в неравенствах; свойства, связанные с арифметическими действиями над функциями).

Локальная ограниченность. Если у функции заданной точки  конечный предел, то в некоторой проколотой окрестности этой точки а ограниченна.

Доказательство. Пусть lim_x__af(x)=A, тогда для >0, в частности для =1,  (a,) в точке а, такая что для x (a,) имеет место f(x)U(A,1) т.е. A-1<f(x)<A+1.

Сохранение знака. Если у f заданной точки а  конечный предел lim_x__af(x)=A0, то в некоторой окрестности (a), f имеет тот же знак что и указанный предел.

Доказательство. Пусть lim_x__af(x)=A, A>0 тогда для >0, в частности для =А,  (a,) такая что для x (a,) имеем f(x) (A,A) т.е. А-А<f(x)<A+A, так что f(x)>0.

Переход к пределу в неравенствах. Теорема. Если f(x), g(x) определены на , x₀(a,b) и f(x)< g(x) на и существуют пределы , А и B числа, то A<B.