1.4. Работа и энергия

В школьном курсе физики работа определялась как произведение силы на пройденный путь и на косинус угла между ними:

A=FScos. (2.1)

Однако такое определение справедливо лишь в тех случаях прямолинейного движения, когда сила на всем пути остается постоянной по величине и направлению. Чаще встречаются случаи, когда материальная точка перемещается по криволинейной траектории, а сила на всем пути перемещения меняет свое направление и/или величину.

Пусть, например, материальная точка перемещается по криволинейной траектории от исходного положения 1 до положения 2. Определим элементарную работу на бесконечно малом участке траектории dS. Для этого вначале выделим этот участок, на котором в момент времени t находится точка. Радиус-вектор ее положения равен r(t). Вектор перемещения dS, определим как вектор, по абсолютному значению равный элементу dS, и направленный по касательной к траектории.

Рис.2-1

На бесконечно малом участке траектории силу F можно считать постоянной, и работу определить как скалярное произведение вектора силы F на вектор перемещения dS:

dA=(FdS)=FdScos. (2.2)

Работа силы F положительна dA>0 (т.е. сила совершает работу), если , т. е. . Если же , то cos<0 и работа силы F отрицательна: dA<0 (работа совершается против направления действия силы).

Полная работа по перемещению материальной точки из положения 1 в положение 2 определяется интегралом от dA по всему пути S:

. (2.3)

В качестве примера определим работу, совершаемую переменной силой при изменении скорости тела от v₁ до v₂. Так как работа совершается только касательной составляющей силы F_, то:

(2.4)

Тогда работа силы с учетом (2.4) будет:

(2.5)

где

(2.6)

есть кинетическая энергия, которая характеризует движение тела и зависит от его массы и скорости. А работа - это процесс взаимодействия тел, приводящий к изменению энергии системы, которая определяет состояние, т.е. совокупность свойств системы. Важно, что работа характеризует только изменение энергии, поэтому кинетическая энергия задается с точностью до произвольной постоянной С:

(2.7)

При v=0 по отношению к данной системе отсчета следует считать E_k=0 и, таким образом, положить C=0. Тогда:

(2.8)

Под механической энергией понимают сумму кинетической и потенциальной энергий. Потенциальная энергия характеризует взаимодействие тел, зависит от их взаимного расположения и действующих в системе сил, но не зависит от скорости тел. Установлено, что потенциальную энергию можно задать не для любого силового поля, а только в случае консервативных сил, работа которых не зависит от формы пути, а определяется только разностью потенциальных энергий в начальной и конечной точках пути. Примером такой силы является гравитационная сила, т.е. сила тяжести, действующая в гравитационном поле.

Рассмотрим пример: тело массы m находится в поле тяготения Земли. Определим работу, которую совершает сила тяжести при свободном падении (перемещение тела изменяется от r₁ до r₂). Покажем, что работа силы тяжести совершается за счет убыли потенциальной энергии тела.

Сила тяготения - переменная сила:

(2.9)

Здесь r - расстояние от центра Земли до тела; M_з - масса Земли. Тогда элементарная работа определится следующим образом:

(2.10)

Полная работа при перемещении тела на всем пути от r₁ до r₂ равна

(2.11)

где

(2.12)

есть потенциальная энергия тела в гравитационном поле Земли. Как видно из (2.11), работа сил тяжести совершается за счет убыли потенциальной энергии. Потенциальная энергия, как и кинетическая, задается с точностью до произвольной постоянной.

За нуль отсчета потенциальной энергии Е_п=0 принимается значение потенциальной энергии в бесконечности (т.е. при r → ∞), когда прекращается взаимодействие тел.

Закон сохранения механической энергии формулируется так: полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют консервативные силы, сохраняется постоянной во времени.

Если, например, тело падает, т.е. перемещается в гравитационном поле, то сила тяжести совершает работу за счет убыли потенциальной энергии. На малом отрезке dr элементарная работа равна:

(2.13)

Однако при этом кинетическая энергия тела увеличивается, т.е. совершаемая работа идет на увеличение кинетической энергии тела:

(2.14)

Поскольку левые части выражений (2.13) и (2.14) равны, то равны и правые, т.е.:

(2.15)

Следовательно,

(2.16)

или:

(2.17)

Это и есть закон сохранения механической энергии. Убыль потенциальной энергии сопровождается равным возрастанием кинетической энергии.

Если же в системе действуют также и неконсервативные силы, например силы трения, то механическая энергия системы уменьшается и переходит в немеханические виды энергии (тепловую энергию и др.). При этом работа сил трения равна убыли механической энергии тела:

. (2.18)

В таких системах выполняется общий закон сохранения: в изолированной системе сумма всех видов энергии остается постоянной.

Иллюстрацией действия законов сохранения энергии и импульса является задача об ударе шаров. Рассмотрим прямой центральный удар шаров, т.е. такой удар, при котором вектор скорости одного из шаров в момент столкновения проходит через центр тяжести другого. Возможны два крайних случая - абсолютно упругий и неупругий удары.

При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия движения шаров полностью, без потерь переходит в потенциальную энергию деформации шаров. Шары деформируются, а затем восстанавливают свою первоначальную форму. Потенциальная энергия деформации полностью переходит в кинетическую энергию движения шаров. Если шары движутся без трения, то систему из двух шаров можно считать замкнутой и для такой системы закон сохранения импульса запишется в следующем виде:

, (2.19)

где

m₁ и m₂ - массы первого и второго шаров соответственно;

v₁₀ и v₂₀ - векторы начальных скоростей первого и второго шаров;

v₁ и v₂ - векторы скоростей обоих шаров после удара.

Одного этого уравнения недостаточно для того, чтобы найти скорости шаров после удара. Воспользуемся еще законом сохранения энергии для замкнутой системы из двух шаров, который будет иметь следующий вид:

. (2.20)

Отсюда находим:

В этих выражениях знак "-" соответствует случаю шаров, движущихся навстречу друг другу, а знак "+" соответствует случаю, когда первый шар догоняет второй.

В случае абсолютно неупругого удара шары деформируются необратимо. После столкновения шары не восстанавливают свою форму и движутся дальше (или покоятся) вместе с одной и той же скоростью, образуя как бы единое целое. Закон сохранения импульса имеет вид

. (2.23)

Откуда можно найти общую скорость шаров после удара:

. (2.24)