2.2. Основы классической статистической физики

Законы механики, применяемые для систем частиц в условиях теплового равно­весия, получили название статистической ме­ханики. Одно из положений статистической механики известно. Это положение о том, что при некоторой температуре энергия, приходящаяся на каждую степень свободы, равна 1/2kT.

Кроме того, из основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов можно определить среднюю квадратичную скорость молекул газа:

, (2.2.44)

где m - масса одной молекулы газа, а  - молярная масса этого газа.

Таким образом, скорость молекул газа зависит от темпера­туры. Экспериментальное определение скоростей молекул было осуществлено в опыте Штерна.

Опыт показывает, что при каждом значении температуры Т существует наиболее вероятная скорость v_В, с которой движется большинство моле­кул. Молекулы, скорости которых много больше или много меньше наиболее вероятной, встречаются редко. Таким образом, суще­ствует некоторая статистическая закономерность распределения молекул по скоростям.

Впервые закон распределения молекул газа по скоростям (и по кинетическим энергиям) был получен Максвеллом на основе теории вероятности.

Вводя функцию распределения , характеризующую относительное число молекул , скорости которых ле­жат в заданном интервале от до +d , математически закон Максвелла можно записать так:

, (2.2.45)

где m - масса одной молекулы;

k - постоянная Больцмана;

T - абсолютная температура.

График функции распределения Максвелла показан на рис. 2-2-5.

Относительное число молекул , для которых значения скоростей находятся в заданном интервале от до ( + ), численно равно площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 2-2-5.

Рис.2-1-5

Скорость, соответствующая максимальному значению функ­ции распределения f(v), называется наиболее вероятной скоро­стью v_В. Её можно найти, если продифференцировать формулу (6.60) и приравнять полученную производную нулю:

. (2.2.46)

Закону Максвелла можно придать другой вид, если вместо скорости в качестве переменной взять кинетическую энергию . Тогда выражение

(2.1.47)

будет характеризовать функцию распределения молекул, значения кинетической энергии которых находятся в заданном интервале от до ( ).

Из выражений (2.2.45) - (2.2.47) следует, что вид функции распределения зависит от температуры и массы молекул.

С увеличением температуры максимум кривой функции распределения смещается вправо и становится ниже. Это означает, что число быстрых молекул увеличивается, а медлен­ных—уменьшается, при этом площадь, ограниченная сверху кривой, не изменяется, так как число молекул не меняется.

Графики функции распределения молекул кислорода по их скоростям, рассчитанные по формуле (2.2.45), приведены на рис. 2-2-6.

Рис. 2-2-6

Три кривые, изображенные на рисунке 2-2-6, соответствуют трем различным температурам - 300, 600 и 900 К. По оси абсцисс отложены скорости молекул в м/c. Можно видеть, что наиболее вероятная скорость, соответствующая максимуму распределения, с ростом температуры увеличивается в соответствии с формулой (2.2.46).

Больцман обобщил закон Максвелла на случай, когда моле­кулы движутся в поле силы тяжести (в общем случае - в лю­бом силовом поле). При этом кинетическую энергию в формуле (2.2.47) следует заменить на полную энергию молекул Е=Е_K+Е_P, где Е_P - потенциальная энергия. Так как потенциальная энергия зависит от координат, то приходится говорить о числе молекул, для которых ограничены не только скорости опреде­ленным интервалом скоростей, но и координаты которых также ограничены определенным интервалом.

Окончательно закон рас­пределения Максвелла — Больцмана имеет вид:

. (2.2.48)

Существенно, что законы Максвелла и Больцмана справед­ливы для равновесного состояния идеального газа и выполня­ются тем точнее, чем больше число молекул N.