7. Точечная и интервальная оценки.

Доверительный интервал.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Рассмотренные выше оценки ( , ) точечные.

При выборках малого объема точечная оценка может существенно отличаться от оцениваемого параметра. В этом случае целесообразно использовать интервальные оценки.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Пусть найденная по данным выборки величина служит оценкой неизвестного параметра . Оценка определяет тем точнее, чем меньше , т.е. чем меньше в неравенстве , .

Так как - случайная величина, то и разность - случайная величина. Поэтому неравенство при заданном может выполняться только с некоторой вероятностью.

Доверительной вероятностью (надежностью) оценки параметра называется вероятность γ, с которой оценивается неравенство . Обычно задается надежность γ и определяется . Чаще всего вероятность γ задается значениями 0,95 и выше.

Доверительным интервалом называется интервал

( - , + ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью.

8. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и в случае неизвестного .

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение и известно ее среднее квадратическое отклонение . Требуется найти доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание с надежностью γ, с учетом полученного значения выборочного среднего . Как уже отмечалось, выборочная средняя является случайной величиной, поэтому ее можно обозначить . С учетом этого , где определяем по таблице функции Лапласа из выражения . При этом называется точностью оценки.

Теорема Ляпунова утверждает, что если случайная величина имеет конечное математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение , то распределение средней арифметической, вычисленной по наблюдавшимся значениям случайной величины в независимых испытаниях, при приближается к нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Поэтому при формулу можно применять и в случае, если сама случайная величина не имеет нормального распределения.

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение, причем ее среднее квадратическое отклонение неизвестно. Требуется найти доверительный интервал, покрывающий математическое ожидание с надежностью γ, с учетом полученного значения выборочного среднего . В этом случае доверительный интервал имеет вид , где - «исправленное» среднее квадратическое отклонение, а находим из Приложения 7 для распределения Стьюдента по известным и γ.

При неограниченном возрастании объема выборки _{распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n>30 можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением.}

Однако важно подчеркнуть, что для малых выборок ( ), в особенности для малых значений , замена распределения нормальным приводит к грубым ошибкам, а именно к неоправданному сужению доверительного интервала. То обстоятельство, что распределение Стьюдента при малой выборке дает не вполне определенные результаты (широкий доверительный интервал), вовсе не свидетельствует о слабости метода Стьюдента, а объясняется тем, что малая выборка содержит малую информацию об интересующем нас признаке.