Часть 2. Элементы математической статистики.

§ 1. Выборка и ее распределение.

Математическая статистика занимается изучением закономерностей, которым подчиняются массовые явления, на основе результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики – это разработка методологии сбора и группировки статистического материала, полученного в результате наблюдений за случайными процессами.

Вторая задача состоит в разработке методов анализа полученных статистических данных. Этот анализ включает оценку вероятностей события, функции распределения вероятностей или плотности вероятности, оценку параметров известного распределения, а также связей между случайными величинами.

В математической статистике вводятся понятия генеральной и выборочной совокупностей.

Вся подлежащая изучению совокупность однородных объектов называется генеральной совокупностью. Часть случайно отобранных объектов называется выборочной совокупностью или просто выборкой. Число объектов в генеральной совокупности или в выборке обычно называют их объемами.

Повторной называют выборку, при которой объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

В некоторых случаях результаты выборки зависят не только от ее объема, но и от способа отбора объектов. Если выборка правильно отражает соотношения в генеральной совокупности, то ее называют репрезентативной (представительной).

Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка. При этом значение наблюдается раз, наблюдается раз и т.д., наблюдается раз. Общий объем выборки можно определить как

Наблюдаемое значение называется вариантой, а их последовательность, записанная в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Число наблюдений называется частотой, а значение его отношения к объему выборки – относительной частотой:

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Предположим, что получено статистическое распределение выборки. Обозначим через число наблюдений, при которых значения вариант оказываются меньше, чем . Эмпирической функцией распределения случайной величины (функцией распределения выборки) называют функцию относительной частоты числа наблюдений т.е. относительной частоты события . Эта функция служит для приближенного представления о теоретической функции распределения случайной величины.

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки . По оси абсцисс откладывают точки , а по оси ординат – соответствующие значения (частоты). Точки соединяют отрезками прямых. Если вместо частот брать относительные частоты , то можно построить полигон относительных частот, соединив точки отрезками прямых.

В тех случаях, когда рассматривается непрерывная случайная величина, которая может принимать любые, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга значения, строится не полигон, а гистограмма. Для этого интервал, в котором заключены все значения случайной величины, разбивается на несколько частичных интервалов длиной каждый. На этих интервалах подсчитывается сумма частот вариант, попавших в

-й интервал, и составляется отношение .

Гистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки длиной , а высоты равны . Величина называется плотностью частоты. Для того чтобы привести гистограмму, т.е. выборочную плотность частоты, в соответствие с функцией плотности вероятности генеральной совокупности, по оси ординат откладывают величины и получают гистограмму относительных частот. Тогда площадь под гистограммой