Часть 3. Примеры анализа экспериментальных данных.

§ 1. Общие положения.

В результате проведения эксперимента исследователь получает набор числовых данных, который необходимо проанализировать, оценить. А затем, на основе полученных результатов, выдвинуть и поверить гипотезу о законе распределения, которому подчиняется изучаемый процесс.

Алгоритм проведения исследования следующий:

1. Составление сгруппированного вариационного ряда.

2. Графическое представление результата.

3. Нахождение среднего значения и дисперсии.

4. Нахождение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины.

5. Выдвижение и проверка гипотезы о виде распределения.

В случае, если проверка гипотезы о виде распределения, производится по критерию Пирсона, то для определения статистики удобно составить таблицу:

Интервалы
…	…	…	…	…	…	…	…
Сумма Σ

Таблица 4

Во втором столбце указываются промежуточные значения случайной величины, в зависимости от предполагаемого закона распределения. По соответствующей предполагаемому закону распределения таблице, приведенной в приложении, и значениям выписывают и заполняют четвертый столбик. В пятом столбике , для .

В случае, если проверка гипотезы о виде распределения, производится по критерию Колмогорова, то удобно использовать следующую таблицу:

Интервалы
…	…	…	…	…	…
Сумма Σ

Таблица 5

В четвертом столбце указываются промежуточные значения случайной величины, в зависимости от предполагаемого закона распределения. По соответствующей предполагаемому закону распределения таблице, приведенной в приложении, и значениям выписывают и заполняют пятый столбик.

§ 2. Составление вариационного ряда. Графическое представление результата. Нахождение среднего значения и дисперсии.

По опытным значениям случайной величины составить сгруппированный вариационный ряд.

Опытные данные:

1624	1371	429	292	196	645	995	1869	995	2730
1124	178	203	1339	638	894	1833	1690	921	929
1284	884	595	1719	212	514	1472	1198	133	1452
634	420	742	696	1447	1383	551	214	364	762
512	510	1992	1141	1126	1454	546	449	1648	1275
856	1051	125	991	388	296	788	1092	1968	2847
460	1282	283	1366	1346	1559	803	842	101	1863
770	500	183	2195	412	43	1819	655	236	1094
1079	619	424	461	1279	799	1432	852	822	739
495	464	70	686	29	2400	1004	1236	1180	142

Схема группировки опытных данных.

1. Выбираем число интервалов. Число интервалов следует брать не очень большим, чтобы после группировки ряд не был громоздким, и не очень малым, чтобы не потерять особенности распределения признака. Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число интервалов . Для случая можно упростить данную формулу и брать в качестве числа интервалов величину , при этом погрешность от группировки опытных данных в равные интервалы не будет значительной.

Т.о.

2. Из опытных данных находим

и выбираем длину интервала .

Интервалы в сумме должны перекрывать весь диапазон опытных значений от до , но не более чем на .

Рис. 14

Поэтому , . Возьмем .

3. Размечаем интервалы. Затем последовательно просматриваем опытные результаты и отмечаем попадание каждого результата в интервал штрихом (каждый пятый штрих – горизонтальный).

№	Интервалы	Частоты
1	0 – 300	//
2	300 – 600	////
3	600 – 900	////
4	900 – 1200
5	1200 – 1500	////
6	1500 – 1800	/
7	1800 – 2100	/
8	2100 – 2400	//
9	2400 – 2700
10	2700 – 3000	//

Таблица 6

4. На основании этой таблицы выписываем сгруппированный вариационный ряд:

Интервалы	Середины интервалов	Частоты	Накопленные частоты
0 – 300	150	17	17
300 – 600	450	19	36
600 – 900	750	19	55
900 – 1200	1050	15	70
1200 – 1500	1350	14	84
1500 – 1800	1650	6	90
Интервалы	Середины интервалов	Частоты	Накопленные частоты
1800 – 2100	1950	6	96
2100 – 2400	2250	2	98
2400 – 2700	2550	0	98
2700 – 3000	2850	2	100

Таблица 7

Графическое представление результатов выборки.

На интервалах , которые перекрывают диапазон опытных значений , строим прямоугольники с площадями, равными относительным частотам значений , попавших в эти интервалы. Для этого по оси ОХ откладываем значения, соответствующие концам интервалов, а по оси ОY величины равные . Получим гистограмму. Она дает приближенное представление о графике плотности распределения случайной величины.

300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

Для интервального вариационного ряда имеем лишь значения функции распределения на концах интервала, они равны отношению накопленных частот к . Поэтому для графического изображения этой функции целесообразно ее доопределить, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой.

300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

Рис. 16

Среднее значение и дисперсия.

Находим выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Получаем:

Выборочное среднее =918.

Выборочную дисперсию находим по формуле

.

Получаем .

Выборочное среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле , Следовательно, . Так как все целые числа, то выборочное среднее округляем до целых в большую сторону .

Найдем «исправленную» дисперсию и «исправленное» среднее квадратическое отклонение .

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины.

По данным выборки найдем с заданной вероятностью γ доверительный интервал для . Т.к. велико, то определяем по таблице функции Лапласа (Приложение 1) из выражения значение .

Тогда . Получаем .

Таким образом, с вероятностью математическое ожидание принадлежит интервалу (796; 1040).