23) Основные теоремы о пределах

Для определения пределов неопределённых выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу (O. Stolz).Теорема: Пусть варианта , причём - хотя бы начиная с некоторого места - с возрастанием п и у_п возрастает: т.е. у_п+1 > y_n. Тогдаесли только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).Доказательство: Допустим сначала, что этот предел равен конечному числу L:Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n > N будетили.Значит, какое бы n > N ни взять, все дробилежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания у_п вместе с номером п, положительны, то между теми же границами содержится и дробьчислитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель - сумма всех знаменателей. Итак, при n > Nзапишем тождествооткуда.Второе слагаемое справа, как мы видели выше, при n > N становится < .Первое же слагаемое, ввиду того, что, также будет < , скажем, для n > N'. Если при этом взять N' > N, то для n > N' очевидночто и доказывает наше утверждение.Случай бесконечного предела приводится к выше рассмотренному. Пусть, например,Отсюда, прежде всего, вытекает, что (для достаточно больших n)следовательно, вместе с у_n и , причем варианта х_п возрастает с возрастанием номера п. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению :(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, чточто и требовалось доказать.

24) Виды неопределенности

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.Для раскрытия неопределённостей видов , , пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

25) Первый замечательный предел

Следствия

26) Второй замечательный предел

Следствия для ,

27) Задачи приводящие к понятию производной

Для начала, обратимся к повсеместно употребляемому, общепринятому, бытующему уже почти три века, ставшему классическим, математическому понятию (определению) производной функции (дифференциала).Разъясняется это понятие во всех многочисленных учебниках одинаково и приблизительно так.Пусть величина u зависит от аргумента х как u=f(x). Если f(x) была зафиксирована в двух точках значениях аргумента: x₂, x_1,, то мы получаем величины u₁=f(x₁), и u₂=f(x₂). Разность двух значений аргумента x₂, x₁ назовём приращением аргумента и обозначим как Δx=x₂-x₁ (следовательно, x₂=x₁+Δx). Если аргумент изменился на Δx=x₂-x_1, , то функция изменилась (приросла) как разность двух значений функции u₁=f(x₁), u₂=f(x₂) на величину приращения функции Δf. Записывается обычно так:Δf=u₁-u₂=f(x₂)-f(x₁) . Или с учётом что x₂=x₁+Δx, можно записать, что изменение функции равно Δf= f(x₁+Δx)-f(x₁). И это изменение произошло, естественно, на области возможных значений функции x₂ и x_1,.Считается, что если величины x₂ и x_1, бесконечно близки по величине друг к другу, тогда Δx=x₂-x_1, - бесконечно мало.Определение производной: Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δf в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало). Записывается так.Lim_Δx→0 (Δf(x₀)/Δx)=lim_Δx→0 ((f(x+Δx)-f(x₀))/Δx)=f`(x₀)Нахождение производной называется дифференцированием. Вводится определение дифференцируемой функции: Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.