20) Понятие функции

функция — это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества действительных чисел или множества комплексных чисел .Пусть дано отображение . Тогда его гра́фиком Γ называется множество      ,где обозначает декартово произведение множеств X и Y. Графиком непрерывнойфункции является кривая на двумерной плоскости. Графиком непрерывной функции является поверхность в трёхмерном пространствеЗадать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций.Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

21) Область определения,четность,монотонность

Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует данная функция, называется областью определения.Более формально, пусть задано отображение , которое отображает множество в , то есть: ; тогдамножество называется областью определения функции и обозначается D(f), или (от англ. domain «область»).Обычно предполагается, что , из-за чего понятие области определения выглядит тавтологией: «область определения функции — это область, где определена функция». Для того, чтобы придать чёткий смысл данному понятию, рассматривается некоторое более широкое множество, которое называется областью отправления, и тогда область определения функции  — это такое подмножество множества (которое и есть область отправления функции), где для каждого элемента определено значение функции .Этот факт коротко записывают в виде: .Нечётные и чётные функции — функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xⁿ чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно f(x) = x — пример нечётной функции.

f(x) = x² — пример чётной функции. f(x) = x³, нечётная

f(x) = x³ + 1 ни чётная, ни нечётная.Другие определения:Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).Функция называется нечётной, если справедливо равенство

Функция f называется чётной, если справедливо равенство

График нечётной функции симметричен относительно начала координат O.График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy.Произвольная функция может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

f(x) = g(x) + h(x),где Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.Произведение двух функций одной чётности чётно.Произведение двух функций разной чётности нечётно.Композиция двух нечётных функция нечётна.Композиция чётной функции с чётной/нечётной чётна Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна. То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.Производная чётного порядка имеет ту же чётность, что и первоначальная функция.Пусть дана функция Тогдафункция f называется возраста́ющей на M, если

.функция f называется стро́го возраста́ющей на M, если

.функция f называется убыва́ющей на M, если

.функция f называется стро́го убыва́ющей на M, если

.(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.Монотонная функция, определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.Монотонная функция дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.

(Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда

f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда

f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда

если то f строго возрастает на (a,b);

если то f строго убывает на (a,b).Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале (a,b). Точнее имеет место(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная f'(x). Тогда f строго возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: