39) Приложение дифференциала
Модель выравнивания цен по уровню актива интересна тем, что в ней можно наблюдать гармонические колебания решений возле стационарного состояния. Предположим, что изменение уровня актива q пропорционально разности между предложением s и спросом d, т.е. q'=k(s-d), k > 0. Предположим далее, что изменение цены p пропорционально отклонению актива q от некоторого фиксированного уровня q0 так, что p'=-m(q-q0 ) , m > 0. Таким образом, модель выравнивания цен по уровню актива имеет видq' = k(s(p) - d(p)), p' = - m(q-q0).Ниже приведены график решения и фазовая кривая для s(p)=ap+s0 , d(p)=cp+d0 , k=0.3, m=0.1,q0 =20, a=20, s0 =10, d0 =50, c=-10 при начальном состоянии q(0)=19, p(0)=2,
40) Теорема Лагранджа
Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит:Пусть группа G конечна и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых классов смежности (индекс).Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы H в G одинаково и называется индексом подгруппы H в G (обозначается [G:H]). Порядок любой подгруппы конечной группы G делит порядок G. Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы G делит порядок G. Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел. Группа порядка p, где p — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок p, и значит, каждый из них порождает группу.)
41) Теорема Роля
Ролля теорема, теорема математического анализа, впервые высказанная М. Роллем (1690): если функция f (х) непрерывна на отрезке а £ х £ b, имеет внутри его определённую производную, а на концах принимает равные значения f (a) = f (b), то её производная f'(x) по меньшей мере один раз обратится в нуль в интервале (a, b), т. е. существует такое с (где a < с < b), что f’(с) = 0. Как следствие получается, что между двумя последовательными корнями функции имеется хотя бы один корень её производной.
42) Правило Лопиталя
Правило
говорит, что если функции
и
обладают
следующим набором условий:
или
;
;
в
некоторой окрестности точки
,
тогда существует
.
При этом теорема верна и для других баз
(для указанной будет приведено
доказательство). В математическом
анализе
правилом
Лопита́ля
называют метод нахождения пределов
функций,
раскрывающий неопределённости вида
и
.
Обосновывающая метод теорема утверждает,
что при некоторых условиях предел
отношения функций
равен пределу отношения их производных.
43) Теорема ферма
Ферма малая теорема, одна из основных теорем теории чисел, состоящая в том, что если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то ap-1 – 1 делится на р, т. е. ap-1º1(modp). Теорему высказал без доказательства П. Ферма, первое доказательство дал Л. Эйлер.
44) Монотонность функции на интервале
Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.Пусть дана функция Тогдафункция f называется возраста́ющей на M, если . функция f называется стро́го возраста́ющей на M, если . функция f называется убыва́ющей на M, если . функция f называется стро́го убыва́ющей на M, если . (Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.