13) Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем) с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов)В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство: В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b₁,b₂,...,b_n и x₁,x₂,...,x_n, либо набор c₁,c₂,...,c_n состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.Система линейных уравнений: Определители Решение:

14) Метод Гаусса

пусть исходная система выглядит следующим образом Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками эту систему можно привести к трапециальному виду:

Переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.Если , то рассматриваемая система несовместна.Предположим, что Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом ( , где — номер строки):

где Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и вычислить через них главные переменные, то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях полученное нами решение является решением системы (1).

15) Матрицы и действия над ними

Матрица в математике, система элементов a_ij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m  n)-матрице. Обозначения:  или .Короче: , . Наряду с конечными М. рассматриваются М. с бесконечным числом строк или столбцов.  М., состоящая из одной строки, называется строкой, из одного столбца — столбцом. Если m = n, то М. называется квадратной, а число n — её порядком. Квадратная М., у которой отличны от нуля лишь диагональные элементы _i = _ii называется диагональной и обозначается diag(₁, ..., _n). Если все _i = , получают скалярную М. При  = 1 М. называется единичной и обозначается Е. М., все элементы которой равны нулю, называется нулевой.  Переставив в М. строки со столбцами, получают транспонированную М. A’, или A^T. Если элементы М. заменяют на комплексно-сопряжённые, получают комплексно-сопряжённую М. А. Если элементы транспонированной М. A’ заменяют на комплексно-сопряжённые, то получают М. А*, называется сопряжённой с А. Определитель квадратной М. А обозначается A или det A. Минором k-го порядка М. А называется определитель k-го порядка, составленный из элементов, находящихся на пересечении некоторых k строк и k столбцов М. A в их естественном расположении. Рангом М. А называется максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы.  Действия над матрицами. Произведением прямоугольной (m  n)-матрицы А на число ее называют М., элементы которой получены из элементов a_ij умножением на число :   Сумма определяется для прямоугольных М. одинакового строения, и элементы суммы равны суммам соответствующих слагаемых, то есть Умножение М. определяется только для прямоугольных М. таких, что число столбцов первого множителя равно числу строк второго. Произведением (m р)-матрицы А на (р  n)-матрицу В будет (m n)-матрица С с элементами  c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_ipb_pj,   i = 1, ..., m,  j = 1, ..., n.