9) Уравнение плоскости,частные случаи общего уравнения плоскости

Стандартное уравнение плоскости -

Ax + By + Cz + D = 0Вектор (A, B, C) перпендикулярен плоскости.

Уравнение плоскости по трем точкам (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) можно получить из следующих опрееделителей:

Раскрывая, получаемA = y1 (z2 - z3) + y2 (z3 - z1) + y3 (z1 - z2) B = z1 (x2 - x3) + z2 (x3 - x1) + z3 (x1 - x2) C = x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2) - D = x1 (y2 z3 - y3 z2) + x2 (y3 z1 - y1 z3) + x3 (y1 z2 - y2 z1)Следуеv заметить, что, если все точки лежат на одной прямой, то (A,B,C) будет (0,0,0). Знак s = Ax + By + Cz + D определяет, с какой стороны по отношению к плоскости находится точка (x,y,z). Если s > 0, то точка лежит в той стороне, куда указывает нормальный вектор (A,B,C). Если s < 0 - на противаположной стороне, а в случае s = 0 точка принадлежит плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости:1.  Если D = 0, то оно принимает вид  . Этому уравнению удовлетворяет точка . Следовательно, в этом случае плос­кость проходит через начало координат.2.  Если С = 0, то имеем уравнение . Нормальный вектор  перпендикулярен оси Οz. Следовательно, плоскость параллельна оси Οz; если B = 0 — параллельна оси Оу, А = 0 — параллельна оси Ох.3.  Если С = D = 0, то плоскость проходит через  параллельно оси Οz, т. е. плоскость  проходит через ось Οz. Аналогично, уравнениям  и  отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.4.  Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид , т. е.  Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, уравнениям  и  отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Οxz.5.  Если A = B = D = 0, то уравнение (12.4) примет вид , т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 — уравнение плоскости Οxz; x = О — уравнение плоскости Oyz.

10) Угол между плоскостями.Условие параллельности и перпендикулярности

 Угол между двумя плоскостями в пространстве  связан с углом между нормалями к этим плоскостям ₁ соотношением:  = ₁ или  = 180⁰ - ₁, т.е.

cos = cos₁. Определим угол ₁. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями: , где (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения: Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:  Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.  На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:  Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны:  .Это условие выполняется, если: .