1. Дисциплинирующие условия.

Дисциплинирующие условия - это формальное описание механизма ситуации.

2. Конкретная партия в парной антагонистической игре.

Игра может содержать, кроме личных ходов, и случайные ходы. Обозначим через H множество случайных стратегий. Любая конкретная стратегия hЄH представляет собой некоторую последовательность всех случайных ходов в некоторой конкретной партии игры. Каждая конкретная стратегия h будет происходить с некоторой вероятностью P(h), которая может быть подсчитана на основании вероятностей каждого случайного хода в этой последовательности; последние задаются правилами игры.

Функция P(h) представляет собой распределение вероятностей на пространстве H и должна удовлетворять условиям:

P(h) ≥ 0, (3.1)

Обозначим через g некоторый конкретный вариант игры, то есть некоторую индивидуальную партию игры. Каждая партия игры будет определена, если выбраны стратегии игроков 1 и 2, то есть xЄX и yЄY, и стратегия случайных ходов hЄH. Следовательно, всякая конкретная партия g игры определяется тремя элементами x, y, h.

Будем условно обозначать конкретную партию игры в виде

g = (x, y, h) (3.2)

Результатом партии игры является выигрыш (или проигрыш) каждого из игроков. Этот результат не всегда имеет количественное выражение. Однако для получения количественных оценок принимаемых решений результат игры необходимо хотя бы условно, представить числом (например, выигрыш – 1, проигрыш – 0, ничья – 0,5).

Рассмотрим одну из конкретных партий игры g = (x, y, h) и обозначим через L₁ (x, y, h) и L₂ (x, y, h) величины проигрыша первого и второго игрока соответственно. Условимся проигрышу приписывать знак «+», а выигрышу –

«-», то есть выигрыши рассматривать как отрицательные проигрыши. Общая сумма L_∑ (x, y, h) проигрышей обоих игроков в партии g = (x, y, h) равна

L_∑ (x, y, h) = L₁ (x, y, h) + L₂ (x, y, h) (3.3)

В парной антагонистической игре общая сумма проигрышей L_∑ (x, y, h) равна нулю: проигрыш одного игрока – выигрыш другого.

Билет №15

1. Общая постановка однокритериальной задачи принятия решения.

При заданных значениях фиксированных неслучайных неконтролируемых факторов A, случайных неконтролируемых факторов Y, с учетом неопределенных факторов Z и фактора времени t найти такую x штрих (такую стратегию x) из всего множества стратегий X из области допустимых значений омега, которая по возможности максимизировала или минимизировала бы значение критерия F.

2. Функция потерь в парной антагонистической игре.

Функция L_ср (x, y) в теории игр называется функцией средних потерь или просто функцией потерь. Очевидно, что при многократном повторении партий игры с одними и теми же конкретными стратегиями x и y игроков суммарный проигрыш игрока 2 (а значит и суммарный выигрыш игрока 1) стремится к величине функции средних потерь L_ср (x, y). В этом смысле последняя является характеристикой качества стратегий игроков (результат игры как бы «очищается» от влияния случайных стратегий h Є H).

Игра G определяется тремя элементами X, Y, L_ср, что условно можно записать в виде

G = (X, Y, L_ср) (3.6)

Игры, в которых каждый игрок имеет конечное число стратегий (конечные игры), удобно задавать с помощью так называемых матриц потерь. В случае игры с нулевой суммой достаточно задавать одну матрицу. Пусть G – некая конечная игра с нулевой суммой, в которой игрок 1 имеет m возможных стратегий, игрок 2 – n возможных стратегий, то есть X и Y есть конечные множества.

X = {x₁, x₂, … x_n},

Y = {y₁, y₂, … y_n}.

Тогда матрица порядка m*n

, (3.7)

элемент которой q_ij = L_ср (x_i, y_i), называется матрицей потерь.

Билет №16