1.16 Основные функции алгебры логики и логические элементы для их реализации. Законы алгебры логики.

1.16 ОСНОВНІ ФУНКЦІЇ АЛГЕБРИ ЛОГІКИ  ТА ЛОГІЧНІ ЕЛЕМЕНТИ ДЛЯ ЇХ РЕАЛІЗАЦІЇ. Закони АЛГЕБРИ ЛОГІКИ.

Алгебра логики (АЛ) является основным инструментом синтеза и анализа дискретных автоматов всех уровней. Алгебра логики называют также Булевой алгеброй. АЛ базируется на трёх функциях, определяющих три основные логические операции.

1. Функция отрицания (НЕ). f1 =`X читается, как f1 есть (эквивалентна) НЕ Х. Элемент, реализующий функцию НЕ, называется элементом НЕ (инвертором).   Элемент НЕ имеет два состояния.

  2. Функция логического умножения (конъюнкции). Функция логического умножения записывается в виде f2=X1·X2. Символы логического умножения &, L, <?>, ?. Функция конъюнкции читается так: f2 есть (эквивалентна) Х1 и Х2, поскольку функция истинна тогда, когда истинны 1-й и 2-й аргументы (переменные). Конъюнкцию называют функцией И, элемент, реализующий эту функцию, элементом И.  

В общем случае функцию логического умножения от n переменных записывают так:  

Количество переменных (аргументов), участвующих в одной конъюнкции, соответствует количеству входов элемента И.

  3. Логическое сложение (дизъюнкция). Функция логического сложения записывается в виде f3=X1 + X2, и читается так: f3 есть Х1 или Х2, поскольку функция истинна, когда истинна одна или другая переменная (хотя бы одна). Поэтому функцию дизъюнкции часто называют функцией ИЛИ. Символы логического сложения +,V.

В общем случае функция ИЛИ записывается:  

Используя операции (функции) И, ИЛИ, НЕ можно описать поведение любого комбинационного устройства, задав сколь угодно сложное булево выражение. Любое булево выражение состоит из булевых констант и переменных, связанных операциями И, ИЛИ, НЕ. Пример булева выражения:     .     Основные законы алгебры логики. Основные законы Алгебра логики позволяют проводить эквивалентные преобразования функций, записанных с помощью операций И, ИЛИ, НЕ, приводить их к удобному для дальнейшего использования виду и упрощать запись.   ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ              Таблица 1.1

N	а	б	Примечание
1 2 3 4 5	=1 X+0=X X+1=1 X+X=X X+ =1	=0 X*1=X X*0=0 X*X=X X* =0	Аксиомы (тождества)
6	=X		Закон двойного отрицания
7	X+Y=Y+X	X*Y=Y*X	Закон коммутативности
8	X+X*Y=X	X =X	Закон поглощения
9	= *		Правило де-Моргана (закон дуальности)
10	+Z=X+Y+Z		Закон ассоциативности
11	X+Y*Z=		Закон дистрибутивности

  Булевой алгебре свойственен принцип двойственности, что наглядно иллюстрирован в табл. 1.1. Как следует из табл. 1.1, только закон двойного отрицания не подчиняется этому принципу.

Используя законы алгебры логики, можно упростить булевы выражения, в частности, правило склеивания позволяет упростить выражение типа . Действительно, используя законы 2, 5 и 11 можно записать исходное выражение в виде Х2(Х1 +`Х1 ) =Х2. Так как логическая операция Х1 +`Х1 = 1 (см. з-н 5), а Х2?1 = Х2  (см. з-н 2б), полученное выражение истинно.          Элементарные функции алгебры-логики. Среди всех функций алгебры логики особое место занимают функции одной и двух переменных, называемые элементарными. В качестве логических операций над переменными, эти функции позволяют реализовать различные функции от любого числа переменных. Общее количество функций АЛ от m переменных R=2k, где k=2m. Рассмотрим элементарные функции от двух переменных  

Переменные и их состояния					Обозначение функции	Назначение Функции
X1 X2	0 0	0 1	1 0	1 1
f0	0	0	0	0	f0=0	Генератор 0
f1	0	0	0	1	f1=X1·X2	«И»
f2	0	0	1	0	f2=X1·
f3	0	0	1	1	f3=X1
f4	0	1	0	0	f4= ·X2
f5	0	1	0	1	f5=X2
f6	0	1	1	0	f6=X1 X2	Сумматор по модулю два
f7	0	1	1	1	f7=X1+X2	«ИЛИ»
f8	1	0	0	0	f8=	«ИЛИ-НЕ»
f9	1	0	0	1	f9=X1~X2	Функция равнозначности
f10	1	0	1	0	f10=	«НЕ» Х2
f11	1	0	1	1	f11=X1+
f12	1	1	0	0	f12=	«НЕ» Х1
f13	1	1	0	1	f13= +X2
14	1	1	1	0	f14=	«И-НЕ»
f15	1	1	1	1	f15=1	Генератор 1