30.Уравнение эллиптического типа.

К уравнениям эллиптического типа относятся уравнения, с помощью которых описываются стационарные процессы(характеристики процесса не меняются со временем)

уравнение распространения тепла в пр-ве

С физической точки зрения внутренние источники тепла. Тогда получаем уравнение:

Уравнение вида

(1)

где называется уравнением Пуассона.

самое простое уравнение Пуассона.

Если , то уравнение называется уравнением Лапласса.

Если у нас есть уравнение (1) и к нему добавлено граничное условие

, (2)

То задача носит название задачи Дирихле.

Пример.

внутренняя задача Дирихле.

Решение вне круга – внешняя задача Дирихле.

Если на границе задана производная по нормали , (3)

Тогда задача (1),(3) носит название задачи Неймана.

Пример. Если дано

Задается уравнение (1) и

, (4)

То задача носит название третьей краевой задачи(граничные условия III-го рода).

31. Определение гармонической функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа

- уравнение Лапласа

Найти общее решение этого уравнения мы не можем, как и уравнение теплопроводности. Зато можно указать бесконечно много частных решений этого уравнения. Среди решений данного уравнения некоторые называются гармоническими функциями.

Опр: функция называется гармонической в ограниченной области , если она непрерывна в этой области и имеет непрерывные производные второго порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Функция называется гармонической в неограниченной области, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Функция является гармонической, в любой ограниченной подобласти.

2. , где - размерность пространства

Из последнего условия следует что при , при и , при

Функция называется аналитической, если

Следовательно, действительная часть аналитической функции одной комплексной переменной является функцией гармонической в любой ограниченной области. Продифференцировав первое уравнение по y, второе по x, получим - тоже гармоническая функция.

Рассмотрим функцию

Следовательно, и являются функциями гармоническими в круге любого конечного радиуса.

Рассмотрим функцию

- гармоническая функция с радиусом , но .

Вспомним о решении уравнения Лапласа с помощью которого получилась формула Пуассона для уравнения теплопроводности. Уравнение Лапласа имеет много частных решений. Среди этих решений выделим решение обладающее некоторой симметричностью. В частности . Найдем решение Лапласа не зависящее от .

Положим , тогда

Положим , тогда

, - площадь поверхности в сфере единичного радиуса в - мерном пространстве.

_.

32. Решение задачи Дирихле для ур-я Лапласа внутри и вне круга.

Если дано задача Дирихле замена

Разложим ф-цию в ряд по ф-циям :

, где

Решение нашей задачи будем искать в виде . явл-ся гармон. положим . При этом выборе ф-ция U будет явл.гармонич. внутри круга. Подберём т.о., чтобы выполнялось условие на границе: должен совпадать с рядом (1). Это будет в том случ., когда: . Реш-е внутр. Задачи Дирихле для ур-я Лапласа в круге запишем как: . Заметим, что реш-е внешн. задачи Дирихле определим формулой: . Возникает вопрос, представл. ли ряд, дающий реш-е задачи Дирихле внутри круга некот. ф-цию.

Коэф-ты подставим в ряд, получим

Последняя ф-ла носит название интеграла Пуассона. Задача - ф-ла Пуассона реш-я внутр. задачи Дирихле. Реш-е внешней задачи определяется такой же ф-лой только со знаком “-“.