10. Уравнение колебания мембраны

Опр. Мембрана – свободно изгибающаяся упругая пленка.

Б удем считать, что в положении равновесия мембрана расположена в плоскости XOY, занимает некоторую область и ограничена кривой Г.

Будем считать, что колебания мембраны являются малыми, причем все точки движутся перпендикулярно XOY. Величину отклонения мембраны от положения равновесия будем обозначать U(t,x,y). Малость колебаний означает, что величинами и можно пренебречь. Выделим часть мембраны в положении равновесия , ограниченной контуром ,

Найдем площадь поверхности :  ; .

Вывод. В процессе малых колебаний изменение площади выделенной части мембраны не происходит в процессе колебаний силы натяжения не меняются.

T(x,y) – сила натяжения, F(t,x,y) – величина внешней силы приложенной в момент времени t к точке (x,y).

Введем элементарную площадь мембраны dxdy (Эл. участок), с плотностью пленки , тогда массой будет . F(t,x,y)dxdy – величина силы приложенной к площадке.

Сумма всех сил инерции приложенных к контуру (или участку мембраны) будет равна .

Сумма всех внешних сил . Будем считать, что силы натяжения лежат в плоскости касательной к поверхности и перпендикулярны векторам касательной к нормали в выбранной точке . Найдем теперь сумму проекций на ось Ou сил приложенных к контуру участка мембраны. Для этого через dS обозначим элемент дуги кривой .

T(x,y) – сила, приложенная в каждой точке этого элемента, тогда сила натяжения будет T(x,y)dS. Учтем теперь, что TTdS –вектор , направление которого перпендикулярно касательной к середине элемента dS и нормали к поверхности в этой же точке.

Если уравнение поверхности есть , то направление косинуса вектора нормали есть

, , . В нашем случае в роли f(x,y) выступает функция U(t,x,y) и учитывая, что и можно пренебречь . Вектор касательной можно представить в виде idx+jdy+kdz. Тогда направление вектора TdS совпадает с вектором равным векторному произведению векторов касательной и нормали.

. Тогда проекция вектора силы натяжения приложенного к участку dS ограниченным будет T(x,y)( dy- dx). Сумма проекций всех сил натяжения приложенных к контуру будет ; + , тогда

[ ]

.

. – уравнение колебания мембраны. В случае однородной мембраны , . – задача Коши. ( –силы натяжения =0 )

11. Уравнение теплопроводности

Из термодинамики известно, что количество тепла проходящее через площадку за время пропорционально площади площадки, времени и - производной по нормали, где - температура

Коэффициент характеризует плотность теплового потока, т.е. количество тепла, проходящее в единицу времени через единицу площади - величина теплового потока.

В трехмерном пространстве выделим объем и подсчитаем количество тепла, поступающего в этот объем за время :

Пусть внутри выделенного объема находятся источники тепла, объемная плотность которых , тогда количество тепла

Поступившее тепло идет на изменение температуры тела в момент времени . Обозначим - температура во время и - температура во время , - объемная плотность, - теплоемкость материала. Тогда количество тепла, необходимое для изменения температуры элементарного объема за время будет равно

Запишем теперь уравнение теплового баланса

Тогда

В случае однородного тела и уравнения

- задача Каши описывает процесс распространения тепла

- уравнение Пуассона

- уравнение Лапласа

Переходим к полярной системе координат

Тогда

- уравнение Лапласа в сферической системе координат.