16.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для волнового уравнения.
Всегда
можно считать, что
,
т.к. замена
Для большей наглядности будем рассматривать случай 2-х переменных:
(1)
Справедлива следующая теорема:
Теорема. Задача Коши для волнового уравнения имеет не более одного решения.
Док-во.
Допустим противное. Пусть
различные
решения (1).Обозначим их разность через
.
Тогда
решение
задачи:
(2)
Очевидно,
что задача (2) имеет нулевое решение. Нам
нужно показать, что других решений эта
задача не имеет. В пр-ве
возьмем
т.
и
через нее как через вершину проведем
конус
Проведем
еще плоскость
,
получим вторую окружность. Конус наз.
световым, или характеристическим
конусом.
Воспользуемся тождеством:
Проинтегрируем
это тождество по объему усеченного
конуса
.
Тогда
Если функция решение задачи (2), то в левой части последнего равенства подынтегральное выражение равно нулю, сумма интегралов, стоящих в правой части обращается в нуль.
,
где
вектор
нормали. Тогда
Но на нижнем основании согласно нач. условиям (2):
и
Рассмотрим
поверхность
:
(3)
На боковой поверхности направляющие косинусы вектора нормали удовлетворяют соотношению:
Образующие
усеченного конуса наклонены к плоскости
основания под углом 45
.
(4)
С учетом равенства (4) преобразуем выражение стоящее под знаком интеграла по боковой поверхности:
Но
Покажем, что решение задачи Коши устойчиво, т.е.
<
<
то
,
где
Обозначим
через
.
Тогда
решение
задачи:
(5)
Решение задачи (5) определяется ф-лой Кирхгофа, т.е.
где
среднее
значение разности на сфере радиуса at
с центром в т.
,
Устойчивость задачи Коши доказана. Ч.т.д.
17.Элементарное (фундаментальное) решение уравнения теплопроводности.
Рассмотрим
сначала одномерное уравнение
теплопроводности
.
Найти общее решение этого уравнения мы
не можем. Это уравнение имеет бесконечное
множество частных решений. Среди всех
решений свёртка этого решения с единицей
должна давать единицу, т.е.
.
Воспользуемся
преобразованием Фурье, и будем искать
решение
.
Найдём
его:
.
И
– фундаментальное решение уравнения
теплопроводности.
Заметим,
что чаще используется не это решение,
а функция
,
которая называется функцией Грина
(функцией источника).
Определим
теперь фундаментальное решение уравнение
теплопроводности в случае произвольного
числа пространственных решение, т.е.
,
.
Рассмотрим
уравнение
.
Покажем, что функция
является фундаментальным решением
этого уравнения и покажем, что
– фундаментальное
решение для двух пространственных
переменных.
.
18.Задача Коши для уравнения теплопроводности.
Пусть
имеем задачу
(1)
Решение задачи (1) есть сумма решения двух задач:
(2)
(3)
Решение задачи (2) есть свёртка начального условия и соответствующей функции источника (функции Грина).
формула Пуассона.
Покажем,
что
удовлетворяет уравнению задачи (2) и для
него выполняется начальное условие
этой задачи.
Начальное
условие выполняется
формула
Пуассона остаётся верной.
Для
решения задачи (3) воспользуемся принципом
Дюамеля, согласно которому, если
– решение вспомогательной задачи
(4) 
.
То решение задачи (3) определяется
формулой
(5).
;
.
Если подставить решение задачи (3) получим:
.
Функция
удовлетворяет решению уравнения (3). И
решение (3) 
.
Для
нахождения функции
во вспомогательной задаче сделаем
замену
.
(6).
Решение задачи Коши можно определить
с помощью формулы:
.