26.Свободные колебания прямоугольной мембраны.

Уравнение свободных колебаний мембраны имеет вид:

Р ешение нашей задачи ищем в виде:

разделим переменные: . Тогда получим уравнение:

(1)

Решение задачи (1) будем искать в виде, т.е применим разделение переменных, тогда граничные условия задачи (1) примут вид:

Решаем задачу (2):

Рассмотрим задачу (3):

Обозначим тогда

-собственные значения задачи (3).

-собственные значения задачи (1).

-собственные ф-ии задачи (1)

Система функций ортогональна в области Ф-ия T(t) будет зависеть от задачи (1) и определяется:

Решение нашей задачи представляется в виде ряда:

27.Уравнение Бесселя. Функции Бесселя.

Ур-ие -носит название уравнения Бесселя к-ого порядка к- любое число. Рассмотрим частный случай к=0 б т.е нулевого порядка: это ур-ие определено во всех точках кроме x=0.Будем искать решение этого урав-ия в виде:

Подставляем коэффициенты в уравнение:

Нечётные коэффициенты этого ряда все равны 0.

т.о получаем ряд: . Положим ,тогда сумма этого ряда - ф-ия Бесселя нулевого порядка.

Линейное ур-ие 2-ого порядка имеет 2-а линейно независимых решения ,одно из них мы нашли, второе реш-ие линейно независимое с найденным носит название ф-ии Неймана, структура этого решения значительно сложнее и мы не будем на нем останавливаться.

Рассмотрим теперь ур-ие: .Сделаем замену: тогда

-уравнениеие Бесселя с независимой переменной 𝜉.Решение этого уравнения ,а исходного - какое-то число. Покажем ,что функция является ортогональной на [0,1] с весом x .

Первое уравнение умножим на , второе на и отнимем.

Легко показать, что под знаком интеграла в правой части равенства (1) стоит:

т.о правая часть равенства (1) равна

П одстановка нижнего предела сделаем 0,а положив в (2)

И учитывая приходим к выводу, что выражениеие (2)=0,т.о ортогональность ф-ии доказана.

Найдём нормирующий множитель этой системы ф-ий ,т.е

.

В равенстве (1) положим тогда:

28.Радиальные колебания круглой мембраны.

Уравнения колебаний мембраны в декартовой системе координат имеет вид: перейдём к полярной системе координат:

Будем считать, что отклонение точек мембраны не зависит от тогда эти колебания описываются с помощью следующей модели:

Решение будем искать в виде:

Решение уравнения задачи Ш-Л является функция -функция Бесселя.

Согласно граничному условию -собственные значения

- собственные функции

Удовлетворяет уравнению и гранич. условию задачи о радиальных колебаниях. Т.к

Обозначим

Подставив и в ряд. Решения получим закон радиальных колебаний круглой мембраны с закреплённым контуром.

29.Крутильные колебания вала с диском на конце.

Будем считать, что левый конец вала закреплён, а на правом конце находится диск, длина вала l .В начальный момент времени диск повернули на угол и отпустили без начальной скорости. Радиус диска R,то .С другой стороны отметим угол .

. Отсюда поворот сечений в начальный момент времени. Т.к диск отпущен без начальной скорости, то угловые скорости=0 т.е .Крутильные колебания однородного вала определяется ур-ем: .

Если бы на правом конце вала диск отсутствовал ,то вращающий момент был бы =0,т.е .

Т.к в нашем случае роль внешней силы играет диск то вращающий момент

Где - момент инерции диска относительно оси вращения, тогда:

, тогда задача о крутильных колебаниях такого вала зап-ся:

Решение задачи U(t,x) будем искать в виде: .

Подставим ф-ию U в урав-ие, получим:

2 граничное условие имеет вид:

-задача Штурма –Лиувилля

Попробуем её решить: из условия X(0)=0 ⟹X=

Обозначим эти решения . Тогда собственные ф-ии будут равны

Найдём T(t) для его опр-ия получим ур-ие: тогда .

Тогда решение имеет вид: .Для определения коэффициентов

Воспользуемся начальными условиями:

Для возможности разложения ф-ии в ряды по необходимо ,чтобы сис-ма ф-ий была ортогональна на [0,l]

⟹система ф-ий неограниченна на [0,l].Оказывается ,что система функций является ортогональной, проверим это:

Т.е. система ортогональна на [0,l]. Продифференцируемем ряд

⟹решение нашей задачи запишетсяся в виде: ,где .