46.Потенциалы:объемный, простого слоя, двойного слоя.

В точку помещаем заряд . Он создает электростатическое поле, вектор напряженности которого в точке определяется формулой , где – радиус вектор с началом в точке и концом в точке . . . Коэффициент зависит от выбранной системы единиц и от характеристик пространства. В дальнейшем . В этом случае компоненты вектора равны частным производным от с противоположным знаком.

Функцию называют потенциалом электростатического поля. . Пусть в некотором объеме распределены заряды с объемной плотностью . Тогда потенциал поля, создаваемый зарядом, распределенным по объему будет - потенциал объема.

Пусть заряд распределен по некоторой поверхности 1, тогда он определяется формулой - потенциал простого слоя.

Пусть дана ориентированная прямая и на ней отмечена точка А. По разные стороны от этой точки находятся заряды, одинаковые по величине и противоположные по знаку. Расстояние между ними h. Тогда потенциал в точке М будет равен . Если эти заряды приближать к точке А таким образом, чтобы каждый из них оставался по свою сторону от этой точки, то . Предположим теперь, что в процессе движения величина заряда q меняется таким образом, что . Тогда потенциал . Предельное положение зарядов называют диполем. Прямую l называют осью диполя, а величину p – моментом диполя. Пусть теперь ориентированную поверхность, существующую на этой поверхности распределен, заряд с моментом действия p(x). Потенциал, создаваемый этими зарядами равен - потенциал двойного слоя. Известно, что если подинтегральная функция интеграла обращается в бесконечность в некоторой точке области , то интеграл нельзя определить как предел интегральной суммы. Если существует конечный предел, то наш интеграл называется сходящимся. В случае несобственных интегралов, зависящих от параметров, существуют признаки сходимости.

47. Свойства объемного потенциала

Рассмотрим объемный потенциал

Справедлива следующая теорема

Теорема 1 Если плотность ограничена и интегрируема в области V, то объемный потенциал является функцией гармонической вне этой области

Так как точка х лежит вне объема V, то объемный потенциал является собственным интегралом. Это означает, что функция u(x) непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков, которые могут быть найдены дифференцированием под знаком интеграла.

1)

2)

П окажем это:

1) , т.к. - гармоническая, кроме

2) Проверим выполнение условия на

Для оценки последнего интеграла поместим начало координат в некоторую т.О

Всегда можно считать, что , где d – диаметр области V. Выберем точку M настолько удаленной от V, чтобы

,

Тогда получаем, что

Теорема 2. Если плотность ограничена и интегрируема в области V, то потенциал U(x) и его частные производные 1-го порядка определены во всем пространстве и эти производные могут быть найдены дифференцированием под знаком интеграла.

Достаточно показать, что функции

Определены через несобственные интегралы, которые равномерно сходятся в любой точке M области

Опр. Интеграл по некоторой области называется равномерно сходящейся в т.M, если и для любой точки с координатой и расстояние и для любой области , диаметр которой выполняется .

Если точка находится вне области V,то объемный потенциал представляет собой собственный интеграл. Поэтому его можно дифференцировать по переменной х и эти производные будут находиться посредством взятия производных под знаком интеграла.

Если точка М находится внутри V, то объемный потенциал представляет собой несобственный интеграл и для определения объемного потенциала внутри V необходимо показать равномерную сходимость в любой точке М обл. V. Для этого оцениваем интеграл:

Покажем равномерную сходимость несобственного интеграла, представляющего производную от объемного потенциала по х:

Покажем, что действительно представляет собой производную от функции И по х

В области V возьмем шар радиуса с центром в точке М. Через обозначим , тогда

;

первое слагаемое представляет собой разность между производной и , но так как в области все слагаемые являются собственными интегралами, то

значит

рассмотрим второе слагаемое

;

Найдем теперь оценку для

Получим оценку

;

Функция действительно является производной.

Следующее утверждение приведем без доказательства

Т еорема 3. Если плотность непрерывна в области (включая границу), имеет непрерывные в области V производные 2-го порядка, то объемный потенциал имеет непрерывные в V производные 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Пуассона