16. Линейные однородные системы. Фундаментальная система решений
Пусть дана система линейных однородных ДУ:
(1)
где коэффициенты
,
,
,
- непрерывные функции на
.
Здесь имеют место аналогичные понятия и утверждения, рассмотренные для линейных дифференциальных уравнений n-го порядка в разделе 10:
Множество решений системы образуют линейное пространство.
Для проверки
линейной независимости вектор-функций
служит определитель
Вронского
,
.
Базис - мерного линейного пространства всех решений системы (1) называется фундаментальной системой решений.
Другими словами, максимальное количество линейно независимых решений системы (1) равно - размерности системы.
Общее решение
линейной однородной системы:
,
где - фундаментальная система решений.
17. Системы лду. Алгебраический подход
Пусть дана система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
(1)
Введем обозначения:
,
,
.
Тогда система (1) примет вид:
.
(2)
Теорема (о
частном решении системы ДУ.). Пусть
-
собственный вектор матрицы
,
принадлежащий собственному значению
.
Тогда
- решение системы (1).
Доказательство.
По предположению о том, что
-
собственный вектор матрицы
,
принадлежащий собственному значению
,
имеем.
Так как
,
то
удовлетворяет (2), а, следовательно, (1).
Замечание.
Пусть матрица системы (1) имеет
различных собственных значений
.
Как известно из курса линейной алгебры,
собственные векторы
,
принадлежащие различным собственным
значениям, линейно независимы. Отсюда
общее решение системы (1) имеет вид:
Пример.
Найти общее решение системы:
Решение. Первый способ. Сведем систему к одному уравнению второго порядка:
Характеристическое
уравнение имеет вид
.
Отсюда два вещественных различных корня
,
.
Следовательно,
.
Так как из первого уравнения
,
то
.
Второй способ.
Сначала находим собственные значения
матрицы
.
Характеристическое уравнение имеет
вид
.
Отсюда два вещественных различных
собственных значения
,
.
Затем находим собственные векторы:
.
.
Общее решение системы:
.
Отсюда
,
.
Чтобы записать ответ так же как в
предыдущем случае, полагаем
.
Ответ: , .
Пример.
Найти общее решение системы:
Решение. Первый способ. Сведем систему к одному уравнению второго порядка:
Характеристическое
уравнение
имеет
два комплексно сопряженных корня
,
.
Отсюда общее решение
Так как из первого уравнения
,
то
Ответ:
,
.
Второй способ.
Сначала находим собственные значения
матрицы
.
Характеристическое уравнение имеет
вид
.
Отсюда два комплексно сопряженных
собственных значения
,
.
Затем находим собственные векторы:
.
Частное решение
Общее
решение системы:
Полагая
,
,
получим тот же самый ответ:
,
.
Пример.
Найти общее решение системы:
Решение. Сведем систему к одному уравнению второго порядка:
Характеристическое
уравнение имеет вид
.
Отсюда один вещественный корень кратности
два
.
Следовательно,
.
Так как из первого уравнения
,
то
.
Ответ. , .
Разные задачи на уравнения второго порядка и системы:
1. 1.
;
1.2.
;
1.3.
;
1.4.
;
1.5.
;
1.6.
.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
Задачи для самостоятельного решения:
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
Ответы: 2.1.
2.2.
;
2.3.
;
2.4.
2.5.
,
.
2.6.
,
.
2.7.
;
2.8.
;
2.9.
;
.
2.10.
;
2.11.
,
;
2.12.
,