14. Задача Коши для системы ду. Фазовое пространство

Пусть дана система дифференциальных уравнений:

(1)

Пусть задано начальное состояние системы:

, ,…, . (2)

Теорема (Коши для системы дифференциальных уравнений). Если в системе дифференциальных уравнений (1) функции ( ) удовлетворяют следующим условиям:

непрерывны в некоторой области , содержащей точку с координатами , ,…, и частные производные по переменным , ,…, также непрерывны в той же области, то на некотором интервале изменения , существует единственная вектор-функция , ,…, - решение задачи Коши (1), (2).

Замечание. Изменяя в начальных условиях , ,…, , получим общее решение системы (1), зависящее от произвольных постоянных.

Если в системе (1) правые части ,…. не зависят от независимой переменной, то система называется автономной.

Замечание. Если интерпретировать решение системы ,…. как координаты точки в , зависящие от времени, ,…, - как координаты вектора скорости движущейся точки , то система называется динамической, функции ,…. - фазовыми координатами, а пространство точек - фазовым пространством.

Каждое решение системы ,…. удобно рассматривать как параметрически заданную кривую в , называемую интегральной кривой системы.

Следует помнить, что система определяет не только интегральные кривые, но и положительное направление на них, которое соответствует перемещению точки при возрастании .

Решения автономной системы обладают той особенностью, что перемещение точки ,…. за время от до по траектории системы полностью определяется разностью и не зависят от .

Систему ориентированных интегральных кривых называют фазовым портретом системы [1,2].

Пример. Построить фазовый портрет системы , (a, b,  0).

Решение. Продифференцировав первое уравнение системы , получим , так как . Из первого уравнения системы находим . Окончательно, исключив , в итоге получим уравнение второго порядка относительно : .

Корни характеристического уравнения - комплексные сопряженные. Отсюда ,

,

.

Поэтому . Система имеет решение

Пусть , , , . Тогда или

В полярных координатах получим семейство логарифмических спиралей.

Схематический график в таблице 3 (фокус).

15. Сведение системы ду к одному уравнению более высокого порядка

Система (14.1) сводится к одному уравнению -го порядка

(1)

по следующей схеме: Дифференцируем первое уравнение

.

Заменяем их выражениями , ,…, . Обозначим правую часть . Итак, . По аналогии получим и т.д. Система примет вид

(2)

Из первых уравнений определим ,…, , выразив их через , и производные . После подстановки в последнее уравнение системы (2) получим одно уравнение (1). Из уравнения (1) находим , а из системы (2) находим остальные неизвестные функции.

Пример. Найти общее решение системы .

Решение. Продифференцировав первое уравнение системы, получим . Так как ., то или . Характеристического уравнение имеет корни . Отсюда - общее решение однородного уравнения . Частное решение неоднородного уравнения находим по методу неопределенных коэффициентов, полагая . Из уравнения следует, что . Следовательно, . Учитывая это, из первого уравнения системы находим .

Ответ: , .