13. Неоднородные лду. Метод неопределенных коэффициентов
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка
, (1)
где , …, , - постоянные.
Для некоторых частных видов функции удается найти без интегрирования частное решение неоднородного уравнения (1).
Замечание. Если - комплексные сопряженные корни характеристического уравнения, то - решение однородного уравнения при любых постоянных , (общее решение при ). Это следует из равенства
.
Поставим в соответствие правой части число:
(2)
где
- обозначает многочлен степени
.
Если число, определяемое по правой части, является корнем характеристического уравнения, то говорят, что есть резонанс, в противном случае - нет резонанса.
Объединяет частные
случаи
из (2) выражение
,
где
может быть как
вещественным числом, так и комплексным.
Очевидно, что
частное решение
уравнения (1) должно
содержать
,
так как при
дифференцировании это выражение
сохраняется. Пусть правая часть
,
где
,
может быть как
вещественным числом, так и комплексным.
Допустим, что
частное решение (1) ищем в виде
,
где
- многочлен той же
степени, что и
,
где
,
,…,
- неизвестные. Чтобы
найти
,
,…,
подставим
в (1).
Например, если
,
(3)
то
(4)
Рассмотрим три случая:
1.
Пусть
не является корнем характеристического
уравнения, т.е. не резонансный случай.
Тогда
и
- многочлен той
же степени
,
что и
.
Сократив
в равенстве
и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получим корректную систему для нахождения , ,…, .
2.
Пусть
является корнем характеристического
уравнения кратности
,
т.е. резонансный случай. Тогда
,
но
и
- многочлен степени
,
что и
.
Чтобы получить
корректную систему для нахождения
,
,…,
необходимо искать
в виде
.
В самом деле,
многочлен
имеет столько же
неизвестных
,
,…,
,
что и в предыдущем случае, но уже степени
.
Поэтому, осуществив
подстановку (4) с заменой
на
,
получим
- многочлен той
же степени, что и
.
Сократив
в равенстве
и приравняв
коэффициенты при одинаковых степенях,
получим корректную систему для нахождения
,
,…,
.
3.
Пусть
является корнем характеристического
уравнения кратности
,
т.е. по-прежнему резонансный случай.
Тогда
,
но
и
- многочлен степени
,
что и
.
Чтобы получить
корректную систему для нахождения
,
,…,
необходимо искать
в виде
.
Действительно,
многочлен
имеет столько же
неизвестных
,
,…,
,
что и в предыдущем случае, но уже степени
.
Поэтому, осуществив
подстановку (4) с заменой
на
,
получим
- многочлен той
же степени, что и
.
Сократив в равенстве
и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получим корректную систему для нахождения , ,…, .
В следующем примере будут продемонстрированы как различные случаи правых частей, так и принцип суперпозиции.
Пример.
Найти общее решение
.
Решение.
Запишем характеристическое уравнение
и решаем его
.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения
.
Частное решение
по принципу суперпозиции будем искать
в виде
,
где
-
частные решения соответствующих
неоднородных уравнений:
1.
,
число, соответствующее правой части
,
следовательно, есть резонанс и
.
2.
,
число, соответствующее правой части
,
следовательно, есть резонанс и
.
3.
число, соответствующее правой части
,
следовательно, нет резонанса и
.
Таким образом,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Ответ:
.
Найти общее решение:
1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. .
1.5. . 1.6. . 1.7. .
Задачи для самостоятельного решения:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
;
2.4.
;
2.5.
.
2.6.
;
2.7.
;
2.8.
;
2.9.
;
2.10.
;
2.11.
;
2.12.
;
2.13.
,
,
;
2.14.
;
2.15.
;
2.16.
;
2.17.
;
2.18.
;
2.19.
,
,
;
2.20.
;
2.21.
;
2.22.
,
,
;
2.23.
;
2.24.
;
2.25.
;
2.26.
.
Ответы: 2.1.
;
2.2.
;
2.3.
;
2.4.
;
2.5.
.
2.6.
;
2.7.
;
2.8.
;
2.9.
;
2.10.
;
2.11.
;
2.12.
;
2.13.
;
2.14.
;
2.15.
;
2.16.
;
2.17.
;
2.18.
;
2.19.
;
2.20.
;
2.21.
;
2.22.
;
2.23.
;
2.24.
;
2.25.
;
2.26.
.