18.Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения

Пусть задана нормальная система дифференциальных уравнений с начальными условиями в точке :

(1)

и , т.е. непрерывны в области определения .

Решение системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого найдется такое , что для всякого решения той же системы, значения которого в точке удовлетворяют неравенству

, , (2)

для всех справедливы неравенства

, . (3)

Если же при сколь угодно малом хотя бы для одного решения неравенства (3) не выполняются, то решение называется неустойчивым.

Если решение не только устойчиво, но, кроме того, при условии (2) удовлетворяет соотношению

, ,

то это решение называется асимптотически устойчивым.

Замечание. Если явление описывается системой ДУ с начальными условиями, которые являются результатами измерений и, следовательно, получены с некоторой погрешностью, то возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных условий на искомое решение.

Таблица 1.

Корни ,		Характер точки покоя	Устойчивость точки покоя
Действительные:	,	Устойчивый узел	Асимптотически устойчива
	,	Неустойчивый узел	Неустойчива
	,	Седло	Неустойчива

Таблица 2.

Корни ,		Характер точки покоя	Устойчивость точки покоя
Действительный, кратности 2:		Устойчивый узел	Асимптотически устойчива
		Неустойчивый узел	Неустойчива

Неустойчивое решение не имеет никакого прикладного значения.

Рассмотрим двумерные автономные системы, т.е. системы вида

(4)

Если - точка покоя системы (4), т.е. и , то , - это одно из решений системы. Такое решение изображается на фазовом портрете точкой.

Простейшие типы точек покоя: Особая точка называется узлом, если каждая траектория примыкает к ней, имея определенную касательную. Особая точка называется центром, если она окружена только замкнутыми траекториями. Особая точка называется фокусом, если траектория асимптотически приближается к ней, навиваясь на нее в виде спиралей. Особая точка называется седлом, если две пары полутраекторий примыкают к ней, имея определенные касательные, а остальные кривые проходят в окрестности этой точки так, как должны идти горизонтали на карте местности, представляющей собой горный перевал.

Замечание. Исследование на устойчивость решения системы (1) может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального (нулевого) решения – точки покоя некоторой системы, аналогичной системе (1) (см., например,[2,6,9]).

В дальнейшем, без ограничения общности. Можно считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение или, что одно и то же, расположенное в начале координат точка покоя системы ДУ.