6. Лду. Уравнения Бернулли
Пусть
,
- непрерывные функции на заданном
интервале
.
Тогда уравнение
(1)
называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка, а уравнение
,
(2)
где
и
называется уравнением
Бернулли.
По методу Бернулли
решение ищем в виде произведения двух
неизвестных функций:
.
Тогда из (1) следует
а из (2)
В обоих случаях получаем уравнения с разделяющимися переменными.
Заметим, что при
уравнение Бернулли имеет решение
.
Пример.
Решить уравнение
.
Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. По методу Бернулли решение ищем в виде произведения двух неизвестных функций: . Тогда из уравнения следует
Поэтому
,
.
Ответ: .
Пример.
Решить уравнение
.
Решение.
Это уравнение Бернулли с
.
По методу Бернулли решение ищем в виде
произведения двух неизвестных функций:
.
Тогда из уравнения следует
Ответ:
.
Решить уравнения:
1. 1.
.
1.2.
.
1.3.
.
1.4.
.
1.5.
.
1.6.
.
1.7.
.
1.8.
.1.9.
.
1.10.
,
.
Задачи для самостоятельного решения:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
,
.
2.4.
.
2.5.
.
2.6.
.
2.7.
.
2.8.
.
Ответы:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
2.5.
.
2.6.
.
2.7.
.
2.8.
.
7. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Уравнение вида
(1)
называется
уравнением
в полных дифференциалах,
если левая часть является полным
дифференциалом некоторой функции
,
т.е.
.
(2)
Другими словами,
левая часть (1) – это
,
а (2) означает
.
В этом
случае
является общим интегралом уравнения
(1).
Действительно,
неявно задает общее решение
,
при этом по теореме о неявной функции:
,
откуда в силу равенств
и
следует уравнение
равносильное (1).
Итак,
чтобы решить уравнение (1), нужно
восстановить функцию
по ее частным производным.
Пример.
Решить уравнение
.
Решение.
,
.
Следовательно, условие (2) выполнено,
т.е. мы имеем уравнение в полных
дифференциалах.
Восстановим функцию по ее частным производным:
.
С другой стороны,
.
Итак,
.
Ответ:
.
В
некоторых случаях условие (2) изначально
может быть не выполнено, но можно
подобрать функцию
(интегрирующий
множитель),
при умножении на которую (1) получаем
уравнение в полных дифференциалах:
,
(3)
т.е.
.
(4)
В развернутом виде (4) выглядит следующим образом:
.
(5)
Рассмотрим два частных случаях нахождения интегрирующего множителя.
1)
,
т.е. интегрирующий множитель зависит
только от
и (5) обращается в равенство
,
преобразуя которое получим
или
.
Если
зависит только
от
,
то мы сможем найти интегрирующий
множитель. После этого решаем уравнение
(4) как уравнение в полных дифференциалах.
2)
,
т.е. интегрирующий множитель зависит
только от
и (5) обращается в равенство
,
преобразуя которое получим
или
.
Если
зависит только
от
,
то мы сможем найти интегрирующий
множитель. После этого решаем уравнение
(4) как уравнение в полных дифференциалах.
Пример.
Найти общий интеграл
.
Решение. Условие (2) не выполнено, так как
.
Подбираем функцию (интегрирующий множитель), при умножении на которую получим уравнение в полных дифференциалах:
,
т.е.
.
В развернутом виде последнее равенство выглядит следующим образом:
.
Полагая
,
получим
.
Следовательно,
,
откуда
и
является уравнением в полных дифференциалах.
Восстановим функцию по ее частным производным:
.
С другой стороны,
Итак,
.
Ответ:
.
Пример.
Найти общий интеграл
.
Решение. Условие (2) не выполнено, так как
.
Подбираем функцию (интегрирующий множитель), при умножении на которую получим уравнение в полных дифференциалах:
,
т.е.
.
В развернутом виде последнее равенство выглядит следующим образом:
.
Полагая
,
получим
.
Следовательно,
,
откуда
и
является уравнением в полных дифференциалах.
Восстановим
функцию
по ее частным производным:
.
Интегрируя дважды по частям, находим
.
С
другой стороны,
Итак,
.
Ответ:
.
Найти общий интеграл:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.