Теорема об изменении кинетической энергии точки

Умножим скалярно второй закон Ньютона на

После несложных преобразований получим:

или ;

также

то есть изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек

Для каждой точки системы имеем:

Здесь мы выразили равнодействующую силу для точки m_k в виде суммы равнодействующих внешних и внутренних сил, действующих на точку.

Проводя суммирование и вынося знак дифференциала за знак суммы, будем иметь:

или

Получили закон изменения кинетической энергии для системы точек: «изменение кинетической энергии системы точек равно работе все внутренних и внешних сил на всех перемещениях всех точек». Работа внутренних сил не равна нулю, поскольку под действием одинаковых сил действия и противодействия точки разной массы имеют различные перемещения и работа внутренних сил полностью не компенсируется.

Проведем интегрирование между начальным и конечным положением системы, тогда будем иметь:

или

Имеем теорему в конечной форме: «изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек при том же изменении положения системы».

Для твердого тела и

Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия

Силовым полем называют часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действует определенная сила, зависящая от координат точки и времени (стационарный и нестационарный случаи).

Силовое поле называют потенциальным, если имеется силовая функция , такая, что

Силовая функция определяется с точностью до постоянной, так как добавка в виде константы под знак частной производной не влияет на значения F_x, F_y, F_z.

Запишем работу силы потенциального силового поля:

Элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функции.

Полная работа силы на участке от положения М₀ до положения М равна

Эта работа не зависит от формы траектории, работа силы в потенциальном силовом поле по замкнутой траектории равна нулю.

Можно показать, что необходимым и достаточным условием того, что силовое поле является потенциальным, является условие , то есть поле безвихревое.

Непотенциальными являются силы сопротивления, зависящие от скорости и силы трения. Сила сухого трения скольжения не будет потенциальной, так как хотя она постоянна и не зависит от скорости, но направление силы трения от скорости зависит.

Наряду с силовой функцией можно ввести другую функцию, характеризующую запас энергии в данной точке поля – потенциальную энергию.

Потенциальной энергией  материальной точки в рассматриваемой точке силового поля M называют работу, которую совершают силы поля, действующие на материальную точку при перемещении ее из положения M в начальное положение M₀:

.

Постоянная С₀ одна и та же для всех точек поля, зависящая от того, какая точка поля была выбрана за начало отсчета.

В конечном итоге имеем: , то есть силовая функция и потенциальная энергия отличаются знаком о определены с точностью до постоянной.